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梅强所著的《初步流形与几何》一书，可作为综合性大学和师范学院数学系高年级本科生和研究生选修课的教材，也可以作为数学、物理的参考书。工人。精品下载站提供免费的pdf电子下载，需要您自行领取。

流形和几何初步 pdf 预览

简介

本书是微分流形和现代几何的入门教科书。本书从微分流形的定义入手，介绍了现代几何研究中的各种基本概念和技术。前两章是基础内容，主要介绍流形上的微积分，证明斯托克斯积分公式。最后三章从几何学、拓扑学和整体分析三个方面阐述了现代几何学的一些重大成就，如高斯-博内-陈公式、霍奇定理和阿蒂亚-辛格指数公式。

目录

前言

第 1 章微分流形

1.1 歧管的定义和例子

1.2 子流形

1.3 单元分解

1.4 切线空间和切线映射

1.5 Sard定理及其应用

1.6 初步李群

第 2 章流形上的微积分

2.1 切线束和切向量场

2.2 可积性定理及其应用

2.3 矢量丛和纤维丛

2.4 张量束

2.5 微分形式

2.6 带边流形

2.7 斯托克斯积分公式

第 3 章流形的几何形状

3.1 指标审核

3.2 联系方式

3.3 曲率

3.4 连接和曲率的计算

3.4.1 活动框架方法

3.4.2 法线坐标

3.5 子流形几何

3.5.1 第二种基本形式

3.5.2 活动框架方法

3.5.3 最小子流形

3.5.4 黎曼泛滥

3.6 同质空间

3.6.1 李群和不变度量

3.6.2 同构空间

3.6.3 对称空间

3.7 主集群及其连接

……

第 4 章流形的上同调

第 5 章流形上的椭圆算子

参考文献

索引

前言阅读

几何学在古代被称为大地测量学，几何学的研究对象已经从平面上简单的规则图形发展到空间上更为复杂的曲线和曲面。高斯对曲面的研究表明，曲率是一个内聚体的几何量。

黎曼是第一位从欧几里得空间中抽象出曲面概念并将其推广到高维情况的数学家。在 1851 年的博士论文和 1854 年著名的就职演说中，黎曼提出了流形的概念。黎曼用这个概念来描述满足一定约束的变量可以取的值的集合。例如，欧几里得空间中的单位球面是流形，其约束条件是向量的长度为 1 ，在物理学中自然就出现了流形的概念。一个物理量在一定约束下的所有可能状态的集合是一个流形。

大约在 1900 年，庞加莱创立了代数拓扑，他研究了许多三维和高维流形的具体例子。 1912 年，外尔在他关于黎曼曲面的工作中给出了二维流形的抽象。定义。 Weyl 将流形视为与欧几里得空间局部同胚的点集，因此高维抽象流形的概念应运而生。 1936年前后，惠特尼详细研究了微分流形的基本性质； 1944年，他证明了抽象微分流形可以嵌入欧几里得空间，因此我们可以从抽象空间回到真实的几何世界。

以流形为研究对象的几何通常被称为现代几何。 20世纪以来，现代几何学的发展取得了辉煌的成就，这在本书中有所体现。本书由五章组成。第1章介绍流形的基本概念；第 2 章介绍流形上的微积分；最后三章从几何学、拓扑学和全局分析的角度进一步讨论了一些重要成果，并简要介绍了每章的主要内容。说明：在第 1 章中，我们首先从 Weyl-Whitney 的角度介绍了微分流形的概念，然后利用反函数定理（implicit function theorem）研究了流形之间映射的局部性质，利用隐函数定理，我们可以把抽象流形看成是一个多元函数在欧几里得空间中的广义图像，然后我们引入了常用的单位分解工具，可以将流形上的局部信息拼凑成一个整体的结果，在为了利用微积分的思想，研究流形。我们介绍了切线空间和切线映射的概念。在微积分中，我们知道导数始终为零的函数必须是常数值函数。在微分流形上，Sard 定理是这个结果的推广。我们讨论了 Sard 定理及其一些应用。最后，利用前面的概念和工具，我们还介绍了李群的初步知识。

第2章主要研究流形上的微积分。在本章中，我们介绍了微流形的几个关键概念： 首先是切丛的概念，即切向量和切空间。概括;然后介绍了分布的概念并讨论了可积分布，利用 Frobenius 可积定理我们进一步探索了李群；然后我们将切丛推广到一般向量丛，然后引入张量丛和张量场的概念。量和微分形式是微分流形的重要基本概念。我们从局部坐标的角度和整体不变的角度来说明这些概念。最后，我们引入有界流形并证明著名的斯托克斯积分公式。 ，这是流形上微积分的基本公式。

从第三章开始，我们正式研究流形上的几何，首先是几何的三个基本概念：黎曼度量、连接和曲率。在介绍完基本概念后，我们将分一节介绍基本概念。计算方法，包括动系法和法线坐标系的方法，我们研究子流形的几何，使现代几何和经典几何相结合，然后讨论李群和齐次空间几何，介绍它们之间的联系主束和主束从不同的角度。最后给出了陈世深先生对Gaus-Bonnet-Chern公式的内在证明。 Chern-Weil 性理论。

在第 4 章中，我们介绍了围绕 de Rham 上同调群的流形上的拓扑。我们首先计算欧几里得空间和球面的de Rham上同调群，并利用结果引入映射度的概念作为应用，证明了Brouwer不动点定理和Borsuk-Ulam定理，然后讨论了一般的计算方法de Rham 上同调群。使用的主要工具是 Mayer-Vietoris 精确序列。形而上学地得到了Poincaré对偶定理，并给出了Poincare-Hopf指数公式的证明。最后，我们还介绍了重要的霍奇理论和微分几何中常用的博赫纳技术。为了与前面的内容联系起来，我们还介绍了 Clifford bundles 和狄拉克算子的概念

第5章的主要目的是证明霍奇定理并讨论非平凡的Atiyah-Singer指数公式。首先在流形上建立Sobolev空间，讨论狄拉克算子的解析性质，利用Sobolev空间狄拉克算子的基本理论和狄拉克算子的椭圆性质给出霍奇定理的证明，然后引入热方程和狄拉德算子的波动方程，研究热核的基本性质。重要的是热核可以用来表示狄拉克算法。最后，利用热核的渐近展开，给出了狄拉克算子的指数公式，并介绍了一般的Atiyah-Singer指数公式。

作者多年来一直在南京大学数学系为高年级本科生和研究生讲授流形和几何基础课程。本书根据作者讲授的讲义进行了修订。我想表达我的感激之情。本书部分内容经北京大学数学科学学院戴波副教授试用。

本书的出版得到南京大学数学系国家基础科学人才培养基金（批准号J1210049）和国家自然科学基金面上项目（项目批准号： 11171143）。我想表达我的谢意。

梅强

2012 年 8 月的南京