现代控制理论基础例题与习题电子版高清免费版|百度网盘下载

褚小静

2022-5-8

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编者点评：现代控制理论基础实例与练习电子版

现代控制理论基础实例和练习电子版从数学角度分析新闻中的各种故事。全书共分五个部分，每个部分又由很多节组成，每个节都有一个大标题作为开头。这些章节考虑了一些相关的、隐含的数学，并研究了数学如何帮助讲述故事。快来下载吧

什么是现代控制理论

基于状态空间方法的控制理论，是自动控制理论的主要组成部分。在现代控制理论中，控制系统的分析和设计主要是通过描述系统的状态变量来进行的，其基本方法是时域法。

现代控制理论可以处理比经典控制理论更广泛的控制问题，包括线性和非线性系统、静止和时变系统、单变量和多变量系统。它采用的方法和算法也更适用于数字计算机。

现代控制理论还提供了设计和构建具有指定性能目标的最佳控制系统的可能性。

现代控制理论的发展历程

现代控制理论是在 1950 年代中期太空技术迅速崛起的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切需要建立新的控制原理，以最少的燃料或在最短的时间内将航天火箭和人造卫星准确送入预定轨道等控制问题。

这类控制问题非常复杂，很难用经典控制理论来解决。

1958 年，苏联科学家Л.С。 Pontryagin 提出了一种集成控制系统的新方法，称为最大原理。在此之前，美国学者 R. Bellman 于 1954 年创立了动态规划，并于 1956 年将其应用于控制过程。

他们的研究成果解决了空间技术中复杂的控制问题，开辟了控制理论中最优控制理论的新领域。从 1960 年到 1961 年，美国学者 R.E.卡尔曼和 R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，

因此，可以有效地考虑随机噪声对控制问题的影响，将控制理论的研究范围扩大到包括更复杂的控制问题。几乎在同一时期，贝尔曼、卡尔曼等人系统地将状态空间方法引入控制理论。

状态空间方法在揭示和理解控制系统的许多重要属性方面起着关键作用。其中，可控性和可观性尤为重要，成为控制论中最基本的两个概念。到 1960 年代初，一套基于状态空间法、最大值原理的方法，

建立了基于动态规划和卡尔曼-布什滤波的控制系统分析和设计的新原理和方法，标志着现代控制理论的形成。

“现代控制理论基础”的结构分解

结构分解这部分内容主要分为两部分和三部分。

可控分解

可观测性分解

标准分解/规范分解（可控分解+可观测分解）

今天主要讲结构分解和可控分解的含义。

1 什么是结构分解

对于一个系统，只要有一个状态变量是不可控制/不可观测的，那么系统就是不可控/不可观测的；但是对于每个状态变量，可控性和可观察性可以解释为每个状态变量的可控性和可观察性。

因此，我们可以将一个不可控/不可观测系统分解为可控/可观测和不可控/不可观测子系统，将状态变量分为可控可观测、可控不可观测、不可控可观测的状态变量有四种，无法控制或无法观察。

$x\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{co}\\ x_{c \bar{o}}\\ x_{\bar{c} o}\\ x_{\bar{c} \bar{o}} \end{matrix} \right]$

$x_{co}$ 可以控制和观察

$x_{c \bar{o}}$ 可以控制但不能查看

$x_{\bar{c} o}$ 无法控制观察

$x_{\bar{c} \bar{o}}$ 管不了，看不了

2 可控分解

对于一个不可控的系统，我们可以将其分解为两部分：可控子系统和不可控子系统。

设置 $\dot{x}=Ax+Bu,\ y=Cx$ ，其中 $Rank\ S_{c}=r<n$ ，系统无法控制。

此时引入一个 $T_{c}^{\ -1}$ 进行非-奇异线性变换 $\bar{x}=T_{c}x$ ，这个 $T_{c}^{\ -1}$ 非常重要。

系统可控性判断矩阵 $S_{c}$ 是 $r$ 线性无关的列向量，把这些列向量取出为 $T_{c}^{<img decoding=$ %5C+-1%7D">的列向量">;然后选择 $n-r$ 列向量，在这些列向量之间，和前面的 $r$ 列向量线性无关。需要保证 $T_{c}^{\ -1}$ 的逆矩阵存在。

改造后 $\dot{\bar{x}}=\overline{A}\bar{x}+\overline{B}u$ , $\bar{x}=\left[ \begin{matrix} x_{c}\\ x_{\bar{c}} \end{matrix} \right]$

其中， $x_{c}$ 指的是可控子变量， $x_{\bar{c}}$ 指的是无法控制的子变量。

对于系数矩阵：

$\overline{A}=T_{c}AT_{c}^{\ -1}=\left[ \begin{matrix} \overline{A}_{11} & \overline{A}_{12} \\ 0 & \overline{A}_{22} \end{matrix} \right]$

$\overline{B}=T_{c}B=\left[ \begin{matrix} \overline{B}_{1} \\ 0 \end{matrix} \right]$

$\overline{C}=CT_{c}^{\ -1}=\left[ \begin{matrix} \overline{C}_{1} & \overline{C}_{2} \\ \end{matrix} \right]$

因此

$\dot{x}_{c}=\overline{A}_{11}x_{c}+\overline{A}_{12}x_{\bar{c}}+\overline{B}_{1} u$

$\dot{x}_{\bar{c}}=\overline{A}_{22}x_{\bar{c}}$

$y=y_{1}+y_{2}=\overline{C}_{1}x_{c}+\overline{C}_{2}x_{\bar{c}}$

可控子系统：

$\dot{x}_{c}=\overline{A}_{11}x_{c}+\overline{A}_{12}x_{\bar{c}}+\overline{B}_{1} u$

$y_{1}=\overline{C}_{1}x_{c}$

无法控制子系统：

$\dot{x}_{\bar{c}}=\overline{A}_{22}x_{\bar{c}}$

$y_{2}=\overline{C}_{2}x_{\bar{c}}$

系统可控性分解结构框图

示例 1 对 $\dot{x}=\left[ \begin{matrix} 0 &0& -1\\ 1&0& -3 \\ 0&1& -3 \end{matrix} \right]x +\left[ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 0 \end{matrix} \right]u$ , $y=\left[ \begin{matrix} 0 &1& -2\\ \end{matrix} \right]x$ 执行可控分解。

$rank \ S_{c}=rank \left[ \begin{matrix} B&AB& A^{2}B \end{matrix} \right] =rank\left[ \begin{matrix} 1 &0& -1\\ 1&1& -3 \\ 0&1& -2 \end{matrix} \right]x=2<3$

系统无法控制

选择 $T_{c}^{\ -1}=\left[ \begin{matrix} 1 &0& 0\\ 1&1& 0 \\ 0&1& 1 \end{matrix} \right]$ ，得到< img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=T_%7Bc%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+1+%260%260%5C%5C+-1%261 %260%5C%5C+1%26-1%26+1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D">

所以得到 $\dot{\bar{x}}=\left[ \begin{matrix} 0 &-1& -1\\ 1&-2& -2 \\ 0&0& -1 \end{matrix} \right]\bar{x} + \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right]u$ ， $y=\left[ \begin{matrix} 1&-1& -2 \end{matrix} \right]\bar{x}$

可控子系统：

$\dot{x}_{c}=\left[ \begin{matrix} 0 &-1\\ 1&-2 \end{matrix} \right]x_{c} +\left[ \begin{matrix} -1\\ -2 \end{matrix} \right]x_{\bar{c}} +\left[ \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix} \right]u$

$y_{c}=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \end{matrix} \right]x_{c}$

无法控制子系统：

$\dot{x}_{\bar{c}}=- x_{\bar{c}}$

$y_{\bar{c}}=-2x_{\bar{c}}$ < /p>

《现代控制理论基础》－4 状态空间的数学模型

今天介绍系统的运动分析。这部分的主要任务是通过状态方程得到状态转移矩阵、状态响应和传递函数。

1个状态转移矩阵

对于状态方程 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ 求解齐次方程的解 $\dot{x}(t)=Ax(t)$ .

状态转移矩阵建立了系统每一时刻的状态变量信息与状态变量初始测试状态之间的关系，状态转移矩阵包含了自由运动的所有信息。

1.1 状态转移矩阵的解

有两种方法，幂级数法和拉普拉斯变换法。

幂级数法

设 $\dot{x}(t)=Ax(t)$ 的解约为 $t$ 向量幂级数

$x(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\cdots+b_{k}t^{k}+\cdots$

然后

$\dot{x}(t)=b_{1}+2b_{2}t+\cdots+kb_{k}t^{k-1}+\cdots$

$\Rightarrow A(b_{0}+b_{1}t+\cdots+b_{k}t^{k}+\cdots )=b_{1}+2b_{2}t+\cdots+kb_{k}t^{k-1}+\cdots$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} b_{1}=Ab_{0}\\ b_{2}=\frac{1}{2}Ab_{1}=\frac{1}{2}A^{2}b_{0}\\ b_{2}=\frac{1}{3}Ab_{1}=\frac{1}{6}A^{3}b_{0}\\ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ b_{k}=\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}\\ \ \ \ \ \ \ \vdots \end{array} \right。$

$\Rightarrow x(t)=b_{0}+Ab_{0}t+\frac{1}{2}A^{2}b_{0}t^{2}+\cdots+\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}t^{k}+\cdots$

可从 $x(0)=b_{0}$ $x(t)=(I+At+\frac{1}{2}A^{2}t^{2}+\cdots+\frac{1}{k!}A^{k}t^{k}+\cdots)x(0)$

我们将上式中的系数定义如下：

状态转移矩阵 $\phi(t) = e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}t^{k}}$

拉普拉斯变体

先把齐次方程 $\dot{x}(t)=Ax(t)$ 拉变换后，排序出来，最后拉取逆变换得到状态转移矩阵。

$sX(s)=AX(s)+X(0)$

$\Rightarrow (sI-A)X(s)=X(0)$

$\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}X(0)$

$\Rightarrow x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)$

状态转移矩阵 $\phi(t) = e^{At}=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]$

示例 1 已知 $\dot{x}= \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] x$ ，求状态转移矩阵。

$sI-A= \left[ \begin{matrix} s & 0\\ 0 & s \end{matrix} \right] -\left[ \begin{matrix} 0 & 3\\ -2 & -5 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} s & -3 \\ 2 & s+5 \end{matrix} \right]$

$(sI-A)^{-1}=\frac{(sI-A)^{*}}{|sI-A|}= \frac{ \left[ \begin{matrix} s+5 & 3 \\ -2 & s \end{matrix} \right]} { (s+2)(s+3) } = \left[ \begin{matrix} \frac{3}{s+2}-\frac{2}{s+3} & \frac{3}{s+2}-\frac{3}{s+3} \\ \frac{-6}{s+2}+\frac{6}{s+3} & \frac{-2}{s+2}+\frac{3}{s+3} \end{matrix} \right]$

$\phi(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]= \left[ \begin{matrix} 3e^{-2t}-2e^{-3t} & 3e^{-2t}-3e^{-3t} \\ -6e^{-2t}+6e^{-3t} & -2e^{-2t}+3e^{-3t} \end{matrix} \right]$

1.2 状态转移矩阵的性质

$\phi(0)=I$

$\dot{\phi}(t)=A\phi(t)=\phi(t)A$

$\phi(t_{1}\pm t_{2})=\phi(t_{1}) \phi (\pm t_{2})$

$\phi^{-1}(t)=\phi(-t)$ p>

$x(t)=\phi(t-t_{0})x(t_{0})$

$\phi(t_{2}-t_{0}) = \phi(t_{2}-t_{1}) +\phi(t_{1}-t_{0})$

以上特征中，特征1和特征2尤为重要，可以得到 $A=A\phi(0)=\dot{\phi}(0)$ .

例2 求例1中状态方程的状态矩阵。

$\phi(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]= \left[ \begin{matrix} 3e^{-2t}-2e^{-3t} & 3e^{-2t}-3e^{-3t} \\ -6e^{-2t}+6e^{-3t} & -2e^{-2t}+3e^{-3t} \end{matrix} \right]$

$\dot{\phi}(t)=\left[ \begin{matrix} -6e^{-2t}+6e^{-3t} & -6e^{-2t}+9e^{-3t} \\ 12e^{-2t}-18e^{-3t} & 4e^{-2t}-9e^{-3t} \end{matrix} \right]$

$A=A\phi(0)=\dot{\phi}(0)= \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -6 & -5 \end{matrix} \right]$

1.3 对角矩阵的状态转移矩阵

$A= \left[ \begin{matrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{matrix} \right]$

$\phi(t)=e^{At}= \left[ \begin{matrix} e^{\lambda_{1}t} \\ & e^{\lambda_{2}t} \\ & & \ddots \\ & & & e^{\lambda_{n}t} \\ \end{matrix} \right]$

对于可对角化矩阵，由于 $(T^{-1}DT)^{n}=T^{-1}D^{n}T$

因此 $\phi(t)=e^{At}= \left[ \begin{matrix} e^{\lambda_{1}t} \\ & e^{\lambda_{2}t} \\ & & \ddots \\ & & & e^{\lambda_{n}t} \\ \end{matrix} \right]$

哪里 $A=T^{-1}DT=T^{-1} \left[ \begin{matrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n} \\ \end{matrix} \right]T$

1.4 jordan数组的状态转移矩阵

$A= \left[ \begin{matrix} \lambda & 1\\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda\\ \end{matrix} \right]$

$\phi(t)=e^{At}= \left[ \begin{matrix} e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \frac{1}{2}t^{2}e^{\lambda t} & \cdots & \frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}\\ & e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \cdots & \frac{1}{(n-2)!}t^{n-2}\\ & & e^{\lambda t} & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & te^{\lambda t} \\ & & & & e^{\lambda t} \\ \end{matrix} \right]$

对于可约矩阵，由于 $(T^{-1}JT)^{n}=T^{-1}J^{n}T$

因此 $\phi(t)=e^{At}=T^{-1} \left[ \begin{matrix} e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \frac{1}{2}t^{2}e^{\lambda t} & \cdots & \frac{1}{(n-1)!}t^{n-1}\\ & e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \cdots & \frac{1}{(n-2)!}t^{n-2}\\ & & e^{\lambda t} & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & te^{\lambda t} \\ & & & & e^{\lambda t} \\ \end{matrix} \right]T$

哪里 $A=T^{-1}JT=T^{-1} \left[ \begin{matrix} \lambda & 1\\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda\\ \end{matrix} \right]T$

2 状态响应

解第二个状态方程的解后，需要解非齐次方程 $\dot{x}(t)=Ax(t)+u(t)$ 溶液。

使用拉动变换的方法来解决。

$sX(s)-X(0)=AX(s)+BU(s)$

$\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}X(0)+(sI-A)^{-1}BU(s)$

$\Rightarrow x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)+L^{-1}[(sI-A)^{-1}BU(s)]$

通过拉变换的卷积定理，我们可以得到

$x(t)=\phi (t)x(0)+\int_{0}^{t} \phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau$

示例3 查找系统 $\dot{x}= \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] x+ \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]u$ 双单位步进输入的状态响应。

$\phi(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]= \left[ \begin{matrix} 3e^{-2t}-2e^{-3t} & 3e^{-2t}-3e^{-3t} \\ -6e^{-2t}+6e^{-3t} & -2e^{-2t}+3e^{-3t} \end{matrix} \right]$

$\left. \begin{array}{} x(t) {=\phi (t)x(0)+\int_{0}^{t} \phi (t-\tau)Bu(\tau)d\tau \\ =\phi (t)x(0)+\int_{0}^{t}\left[ \begin{matrix} 3e^{-2\tau}-2e^{-3\tau} & 3e^{-2\tau}-3e^{-3\tau} \\ -6e^{-2\tau}+6e^{-3\tau} & -2e^{-2\tau}+3e^{-3\tau} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]2(t-\tau)d\tau \\ =\left[ \begin{matrix} 3e^{-2t}-2e^{-3t} & 3e^{-2t}-3e^{-3t} \\ -6e^{-2t}+6e^{-3t} & -2e^{-2t}+3e^{-3t} \end{matrix} \right]x(0)+ \left[ \begin{matrix} 1-3e^{-2t}+2e^{-3t} \\ 2e^{-2t}-2e^{-3t} \end{matrix} \right] } \end{array} \right。$

替换成 $y(t)=Cx(t)+Du(t)$ 就可以了

3 传递函数

在零初始条件下，对于状态方程 $\dot{x}=Ax+Bu$ 和输出方程 $y=Cx+Du$ 拉普拉斯变换。

$sX(s)=AX(s)+BU(s)$

$\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$

$Y(s)=CX(s)+DU(s)$

$\Rightarrow Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)$

$G(s) =C(sI-A)^{-1}B+D$ p>

示例 4 已知 $A= \left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right]$ , $B= \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]$ , $C= \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix} \right]$ , $D=\left[ \begin{matrix} 0 \end{matrix} \right]$ ，求系统的传递函数。

$\left. \begin{array}{} G(s) {=C(sI-A)^{-1}B+D \\ = \frac {1}{(s+2)(s+3)} \left[ \begin{matrix} 1 &1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s+5 & 3 \\ -2 & s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]\\ = \frac{1}{s+2} } \end{array} \right。$

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作者：褚小静
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