《数学》曾岳生主编；刘克笑，傅世球副主编|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《数学》

【作　者】曾岳生主编；刘克笑，傅世球副主编

【丛书名】普通高等数学少数民族预科教材

【页 数】 161

【出版社】 北京：中国铁道出版社 , 2013.03

【ISBN号】978-7-113-15954-2

【价 格】23.00

【分 类】数学-高等学校-教材

【参考文献】 曾岳生主编；刘克笑，傅世球副主编. 数学. 北京：中国铁道出版社, 2013.03.

图书封面：

图书目录：

《数学》内容提要：

本书根据教育部《普通高等学校少数民族预科(数学)教学大纲》的要求，结合少数民族预科教育的特点和学生的实际，总结编者多年预科教育的教学经验和教学成果而编写。本书重视数学基础知识的掌握、基本技能的训练，注重学生逻辑思维能力的培养，注意了中学数学内容与大学数学内容的过渡与衔接。本书共8章：第1章平面几何证题方法通论，第2章平面几何证题方法分论，第3章空间直线和平面，第4章多面体，第5章旋转体，第6章平面解析几何的一些基本事项，第7章直线和平面，第8章圆锥曲线。书末附有部分习题参考答案。

《数学》内容试读

第1章平面几何证题方法通论

平面几何是中学数学教育中的一个重要内容，这是因为几何是从人们生产、生活实际需要中产生和发展起来的，它在人们的日常生活和生产实际中有广泛的应用，而且，学习几何能够很好地培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、绘图能力和计算能力，从而提高学生的数学素养.平面几何证题更是培养逻辑思维能力的重要而有效的载体，本章重点介绍逻辑推理的基本知识和几何证题的一般方法.

1.1概念和命题

数学总是运用一些抽象的概念，从已知结论出发，经过逻辑推理导出另一些新的结论，从而构成数学的知识体系.

概念、判断、推理都是人们的思维形式，而形式逻辑是研究思维形式的逻辑结构以及正确思维的逻辑规律的科学.正确的思维，必须遵循和使用形式逻辑，运用概念以作判断和推理，因而概念是推理的基础.

1.1.1数学概念

概念是反映客观事物本质属性的思维形式·数学概念的形成，一般有两种方式：

(1)直接从现实世界的数量关系和空间形式中抽象出来，如自然数的概念，源于对事物的计数；几何中的“点”、“直线”、“平面”、“点在直线上”等概念.“点”的本质属性是只有位置，没有大小的抽象.观察日常生活中那些“笔直的，无限伸长的”事物抽象出“直线”的概念等.这类概念称为原始概念，原始概念是不能下定义的，只能通过具体事例来描述，

(2)在已有概念的基础上，经过多层次的抽象、概括而形成新的概念，在数学上称为概念的定义。

数学中大量的概念都是要下定义的，定义是通过指出概念所反映事物的本质属性来明确概念的逻辑方法.例如，平行四边形的定义：“两组对边互相平行且相等的四边形叫做平行

四边形.”

这里“对边”是一个原始概念，“平行四边形”是已定义过的概念，利用这几个已知概念明确了一个新概念

1.1.2数学命题

对于某种事物（现象）及其属性，凡有所肯定或否定的断语，称为判断

例如：(1)两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形：(2)经过两点可以作且只能作一条直线；(3)对顶角相等；(4)三角形的内角和等于180°；(5)a+b=b+a;等等都是判断

·2·数学几何分册

判断的表述要依附语句.在数学中，表示判断的语句称为命题·

从上述几个判断可以看出，数学命题可以分为定义、公理、定理和法则（公式）等几种类型.

定义说明名词或术语意义的命题，

公理在数学中不经过证明直接运用的命题.它是人类在亿万次实践活动中所总结的客观规律，由实践证明了的真命题.

在平面几何中，常用的公理有：

(1)经过两点有且只有一条直线，

(2)连接两点的所有线中，线段最短.

(3)过直线外一点，有且只有一条直线和此直线平行.

(4)矩形的面积等于它的长和宽的乘积

(5)等量公理（如等量加等量，其和相等等）

定理由已经证明的真命题和公理，经过逻辑推理而得出的正确的结论.

例如，“两直线相交只有一个交点.”可以从公理(1)经过逻辑推理而证明；“三角形的内角和等于180°”，它由“平角等于180°”和平行线的性质定理经过逻辑推理而证明，

由一个定理很容易导出的结论称为该定理的推论；仅仅是为了证明某个定理作准备的定理，称为引理，

1.1.3命题的结构

数学命题一般分为简单命题与复合命题.简单命题由一个判断构成，结构简单，如：(1)W2是无理数；(2)直线a平行于直线b;(3)∠A=∠B.

复合命题是由两个或两个以上判断和逻辑联接词构成的命题

例1.1.1(1)如果两个三角形中有两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等；

(2)若两条平行线和第三条直线相交，则同位角相等，内错角相等，外错角相等，同旁内角互补，同旁外角互补，

在例1.1.1中，命题(1)由三个判断组成，命题(2)由6个判断组成，以联接词“如果…，那么”或“若…，则…”相联系而组成命题。

一个命题包含两部分：条件和结论（或者假设和终结，题设和题断，已知和求证）·条件以“如果”、“若”、“假设”、“已知”等词开头，结论以“那么”、“则”、“求证”等词开头.

命题的一般形式表述为“若A,则B.”其中A为条件，B为结论.有些命题的条件和结论

表述得不分明，但很简洁，需要将字句加以改造，分出条件和结论.在几何上，改造字句时，配上图形，用字母和记号表示，就显得简单明了·

例1.1.2改写下列命题的条件和结论：(1)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

(2)三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.

解（1)如图1.1.1所示，已知D为△ABC边BC上的一点，∠A=90°，BD=DC,则AD=

(2)如图1.12所示，已知△ABC中，AD=DB,AE=EC,则DE/BC,且DE=2BC

第1章平面几何证题方法通论·3·

y

D

图1.1.1

图1.1.2

1.1.4命题的四种形式

一般地，命题有四种形式：

(1)原命题：若A,则B.

(2)逆命题：若B,则A.

(3)否命题：若A,则B(A表示非A).

(4)逆否命题：若B,则A

这四个命题的相互关系可用图1.1.3表示.

互逆

原命题

逆命题

例1.1.3写出下列命题的四种形式，并判断

若A,则B

若B,则M

互

真假，

入为

(1)原命题：若两角是对顶角，则两角相等.（真)

互

逆

靨

(2)原命题：三角形中，若两边相等，则对角相

否

等.（真）

解（1)逆命题：若两角相等，则两角是对顶角.

套免题5

逆否

砻套腰

(假)

图1.1.3

否命题：若两角不是对顶角，则两角不相等.（假）逆否命题：若两角不相等，则两角不是对顶角.（真)

(2)逆命题：三角形中，若对角相等，则对边相等.（真）否命题：三角形中，若两边不相等，则对角不相等.（真）逆否命题：三角形中，若对角不相等，则对边不等.（真）

可见，原命题是真，逆命题不一定真，而逆否命题必真.这是因为原命题表示“某事物具有某种性质”，而逆否命题表示“不具有某种性质的事物就不是该事物”，这是对同一事物的两种不同形式的判断，所以同真同假。

同真同假的两个命题称为等效命题.原命题和逆否命题是等效命题；因为否命题是逆命题的逆否命题，所以逆命题与否命题是等效命题，

若一个定理的逆命题真，则称此逆命题为逆定理，所以一个定理的逆命题必须经过证明它的真确性，才能称为逆定理

1.1.5逆命题的构造方法

原命题“若A,则B”,逆命题“若B,则A”

当条件A和结论B都只包含一个事项时，以B为条件，A为结论，则为逆命题

当条件A和结论B所包含的事项不止一项时，构造逆命题时，一个结论只能交换一个条

·4·数学几何分阳

件，而且不同的交换方法，可得到不同的逆命题、

例1.1.4原命题：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.

「AD=DB

条件：△ABC中，{AB=EC结论：DE/BC,DE=2BC

构造逆命题时，将结论“DE∥BC”交换条件“AE=EC”.

条件：△ABC中，AD=DB,DE∥BC,

结论：AB=EC,且DB=BC.

逆命题：过三角形一边AB的中点D而平行于BC的直线必过4C的中点E,且DE=BC

1.1.6充分条件和必要条件

如果命题“若A,则B”是真命题，是指从条件A出发，经过逻辑推理，可以得到结论B,即

如果A成立，B一定成立(A蕴含B).记为

A→B

则称B是A的必要条件，A是B的充分条件.

如，“若x>2,则x2>4”是一个真命题，那么x>2是x2>4的充分条件，x2>4是x>2的必要条件.

如果原命题“若A,则B”真，逆命题“若B,则A”也真，即：既有A→B,又有B→A,记作A

台B.则称A是B的充分必要条件，简称充要条件。

表述概念定义的命题中其条件必须是充分必要条件.例如，平行四边形的定义：“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形.”我们可以说“四边形为平行四边形的充要条件是

一组对边平行且相等.”

例1.1.5指出下列各组命题中，P是9的什么条件：

(1)p:(x-2)(x-3)=0,9:x-3=0;

(2)p:x=4,9:x2=16;

(3)p:同位角相等，q:两直线平行；

(4)P:四边形的两条对角线相等，9：四边形是平行四边形，

解（1)p是9的必要条件而不是充分条件.因为x-3=0台(x-2)(x-3)=0,而(x2)(x-3)=0本x-3=0.

(2)p是q的充分条件而不是必要条件.因为x=4→x2=16,而x2=16Ax=4.

(3)p是9的充要条件.因为同位角相等台两直线平行.

(4)P既不是9的充分条件也不是q的必要条件.因为四边形的两条对角线相等A四边形是平行四边形，四边形是平行四边形兴四边形的两条对角线相等。

习题1.1

1.什么叫做命题？一个命题的内容包括哪两部分？

2.改造下列定理的字句，配以图形和字母说明·

(1)三角形的内角和等于180°；

第1章平面儿何证题方法通论·5·

(2)一个三角形中，较大的边所对的角也大；

(3)等腰三角形底边上的中线是底边的高，也是顶角的平分线；

(4)在圆中，垂直于弦的半径必平分弦所对的孤

3.命题有哪几种形式？怎样由原命题得出其他形式？它们相互关系怎样？

4.写出下列命题的四种形式，指明命题的真假：

(1)垂直于两平行线中的一条直线，必垂直于另一条直线；

(2)四条边相等的四边形是菱形；

(3)等腰三角形两底角相等；

(4)直角三角形的两个锐角互余；

(5)在一圆中，两条平行弦所夹的孤相等；

(6)若四边形有一组对边互相平行，则另一组对边彼此垂直·

5.就下面的定理写出它的逆命题，画图，用字母符号表示，并辨明真假·

(1)若两个三角形由两边对应相等，则夹角大的，它所对的边也大

(2)从圆外一点引圆的两条切线长相等.

(3)4C

6.指出下列各组命题中，P是9的什么条件：

(1)p:A=B,q:ac=bc;

(2)p:a+5是无理数，9：a是无理数；

(3)p:两个三角形全等，9：两个三角形相似；(4)p:a>b,q:a2>b2;

(5)p:x=1或x=2,9:x-1=√x-1;

(6)p:a,b是整数，q:x2+ax+b=0有且仅有整数解.

1.2逻辑推理概要

推理是又一种重要的思维形式，它是通过判断与判断之间的有机联系，从已知前提推断新的结论的思维形式，逻辑思维对推理的基本要求是：推理要合乎逻辑，就是进行推理时要合乎推理的逻辑形式，要遵守逻辑思维的规律.合乎逻辑的推理，称为逻辑推理.

1.2.1逻辑思维的基本规律

1.同一律

同一律的内容是：在同一时间内，从同一方面思考或议论同一事物的过程中，必须保持同一的认识.即在思考同一事物过程中，所用的概念、判断必须确定，必须保持前后一致.具体地说，一是思维对象保持同一，不能中途变更；二是概念保持同一，要用同一概念表示同一思维对象，既不能用不同概念表示同一事物，也不能把不同事物混起来用同一概念表示，否则，推理所得的结论不真

例如，以下推理：

物质是不灭的，（大前提）桌子是物质，（小前提)

·6·数学几何分册

所以，桌子是不灭的.（结论）

其结论是错误的.因为大前提中的“物质”是抽象的、哲学意义上的概念，“不灭”是指转化为其他物质；而小前提中的“物质”是具体的器物，与大前提中“物质”不是同一概念.结论中“桌子是不灭的”，桌子打碎了或烧掉了，转化为其他物质，就不是桌子了.

2.矛盾律

矛盾律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象不能既肯定它是什么，又否定它不是什么.即在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假.

矛盾律是同一律的引申，它是用否定的形式表达同一律的内容.

3.排中律

排中律的内容是：在同一时间内，从同一个方面，对同一思维对象，必须作出明确的肯定或否定，不能模棱两可

排中律要求人们的思维有明确性，它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指出正确的思维不仅要求明确、不能互相矛盾，要鲜明地表明肯定或否定，

排中律和矛盾律都不允许思维有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也就违反了矛盾律.它们的区别在于：矛盾律指出两个矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律指出了两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真

4.理由充足律

理由充足律的内容是：在思维过程中使用的判断必须是已经证实其正确性的判断，思维

推断要“有理有据”，指明“因为有A,所以有B”

1.2.2推理的种类

常用的推理有类比推理、归纳推理、演绎推理等。

1,类比推理

类比推理又称类比法，是一种从特殊到特殊的椎理.它是根据两个或两类有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理.

例如，平面几何中有定理“两条直线相交只有一个交点”，在立体几何中用类比法推知“两平面相交只有一条交线”，

由类比推理得出的结论不一定真实，但类比推理不失为一种获取新知识的工具，在几何中一般不使用类比推理.

2.归纳推理

归纳推理又称为归纳法.它是一种从个别、特殊到一般的推理.例如，1=12,1+3=22，1+3+5=32,…推理猜想：1+3+5+…+(2n-1)2=n2.

又如，

「三角形内角和为180°=(3-2)·180°

四边形内角和为360°=(4-2)·180°前提五边形内角和为540°=(5-2)·180°

推断结论：凸n边形的内角和为(n-2)·180°

···试读结束···