《数学欣赏拾趣》沈文选，杨清桃著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《数学欣赏拾趣》

【作　者】沈文选，杨清桃著

【丛书名】中学数学拓展丛书

【页 数】 290

【出版社】 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 , 2018.05

【ISBN号】978-7-5603-6845-0

【分 类】中学数学课-教学参考资料

【参考文献】 沈文选，杨清桃著. 数学欣赏拾趣. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2018.05.

图书封面：

图书目录：

《数学欣赏拾趣》内容提要：

本书共分7章，包括数学欣赏的含义、欣赏数学的真、欣赏数学的善、欣赏数学的美、欣赏数学文化、数学欣赏走向数学鉴赏、从数学文化欣赏走向文化数学研究等内容。

《数学欣赏拾趣》内容试读

第一章

数学欣赏的含义

1.1什么是数学欣赏

先来看看何谓欣赏？欣赏的中文含义是领略、赞赏、观赏、喜欢，还有佩服.英语是to admire或to enjoy,都包含着一种在喜好、倾慕的前提下愉快、积极地接受、沉浸并享受某种客体（或对象）的情感.可见欣赏是一个与主体意识和心理倾向紧密相关的概念。

从我们自己的体验来说，欣赏，就是怀着愉悦的心态对待面临的美满对象，就是用观赏的目光看待眼前事物的美好形态，就是用赞赏的情怀注视事物外表的美观，就是用领略的眼光发现事物内部深处的美妙.这里，愉悦的心态、观赏的目光、赞赏的情怀、领略的眼光都是

一种积极的心理倾向与主体意识，这又与一个人的知识水平有着密切的关系.因此，欣赏，作为一种伴随着较为积极的心理倾向的活动，它是一个值得深入研究的课题

许多人都有体验：随着欣赏对象的不同，要求也不一样.对于较为复杂和高级的欣赏活动，有时候要求欣赏者具有较高的知识素养或艺术素养.即使是欣赏同一件事物或对象，也是有层次之分的.比如，欣赏一件艺术品，欣赏者之间的欣赏水平可能相距万里，有的人是鉴宝专家，有的人是一无所知的外行.俗话说，“外行看热闹，内行看门道”，意思就是说对同一事物，不同的知识层次和观赏力会出现不同的效果.这也就是说，即使是对于同一对象，由于审视者个人修养的不同，会出现完全不同的欣赏感受和欣赏效果

下面，我们讨论什么是数学欣赏？若认为就把数学加在欣赏前面，即把数学作为欣赏对象，则这是对数学欣赏的一般理解.对数学欣赏的深人理解，这是我们要研究的问题了.这正如黄秦安先生等所说的：①对于数学欣赏，细细想来，感觉“数学欣赏”的概念在实际语境中远比想象的要复杂些，特别是当这个概念与数学教学联系在一起的时候更是如此.初步看来，可以把数学的欣赏理解为个体认同，喜欢数学的一种心理趋向，一种对于数学的美好情感和认知.在最初的数学欣赏中，一个人懂不懂数学或者懂得多少，其实都没有什么关系，正如许多五音不全和一点五线谱知识都没有的人也可以很喜欢音乐一样.在数学的受众中，不懂数学但仍喜欢数学的人数量是不多的.其中，有些人并不是很懂数学，但在长期的社会文化与科学文化氛围中，感受到了数学计算之精确，形式结构之严密和论证推理之充分有力，因此，对数学有一种崇敬之情，也是在情理之中的.一个社会对数学的文化评价越高，就越容易获得公众对数学的喜爱和认可，这些都可以看作是一种较为朴素的对数学的欣赏.而我们在数学教育中所倡导的“数学欣赏”，应该是高于朴素的大众数学文化层面的，即需要建立在必要的数学认知基础之上.也就是说，数学欣赏是要以一定深度的数学理解，数学习得和

①黄秦安，刘达卓，聂晓颖.论数学欣赏的“含义”“对象”与“功能”一数学教育中的数学欣赏问

题[J刀.数学教育学报，2013(1)：8-12.

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数学欣赏拾趣

SHUXUE XINSHANG SHIOU

数学认知作为前提的.这种理解、习得、认知也与了解数学的精神、数学眼光、数学思想、数学方法、数学解题、数学应用、数学史观，等等密切相关，作者的这套丛书就是为广大数学爱好者以及数学工作者提供参考的，

数学欣赏，古已有之，中外皆然.特别是近几年在张奠宙教授的倡导下，数学欣赏是谈论得比较多的一个话题了.张教授于2010年分别在《中学数学教学参考》《中学数学月刊》上发表了《欣赏数学的真善美》《谈课堂教学中如何进行数学欣赏》的指导性论文，接着陕西师范大学的教育刊《中学数学教学参考》专门开辟“数学欣赏”的专栏，并邀请张奠宙教授作为主持人，在开篇栏目中还写了编者按，并指出：数学欣赏是一种数学情怀，是一门学问，是一种学习，是一种精神，是一个鲜活的研究课题.学会数学欣赏，研究数学欣赏，大力挖掘数学欣赏，有助于我们从一个新的视角去认识和理解数学内容，给课堂教学注入新的活力：有助于促进中学教师以欣赏的激情去从事数学教学，数学课堂或许变得更加有趣味，数学教学或许给予学生更多的数学精神和力量，数学或许会让更多的学生迷恋和欣赏.这为我们深入研究数学欣赏开辟了新的阵地.近几年来在这块阵地上已刊载了一系列佳作，

作者通过对这套数学欣赏丛书的写作以及近期文献的学习，认为对数学欣赏的理解可从一些侧面做如下的描述：

数学欣赏是一种对数学的喜爱情感，是一种对数学的崇敬情怀，是一种佩服数学理性的心理倾向，是数学素养中某种意识的流淌，是一种数学思维活动的展现，是学习数学的一种情趣表露.前三者是较低层次的欣赏，后三者是较高层次的欣赏.下面，我们试举6例以说明之

例1一条辅助线使一道几何题求解豁然开朗.

每个喜爱数学的人，都曾感受到那样的时刻：一条辅助线使不好着手的几何题求解豁然

开朗.如图1-1，在折五边形ABCDE中，求五个折角和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数，

解析联结CE,设AE与BC交于点O,由三角形内角和定理

D

及∠AOB=∠COE,可得

∠1+∠2=∠OEC+∠OCE

所以

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5

=∠OEC+∠OCE+∠3+∠4+∠5

图1-1

=(∠OCE+∠3)+（∠OEC+∠4）+∠5

=∠DCE+∠DEC+∠CDE

=180°

这道简单数学问题的处理也训练了解题者的思维，当我们处理某些事情时，也要善于发现对象间的内在联系，也要善于找到适当的处理手段.数学就是这样让人喜爱！

例2用数学符号表达一种世界观

数学符号就是数学语言的词汇，它是数学先辈们长期创作的数学语言中的精华，是世界上最通用的一种语言，又比世界上任何一种母语更精练、更准确.用数学符号语言来表达，丰富和发展了人类语言.例如可用数学符号表达一种世界观：

第一章数学欣赏的含义

DIYIZHANG SHUXUE XINSHANG DE HANYI

“+”号用在学习上，“-”号用在闲聊上，“×”号用在工作上；“÷”号用在专业上，“，”号用在委屈上，“！”号用在情怀上；“?”号用在成绩上，“=”号用在群众上，“()”号用在自省上：“…”号用在事业上，“→”号用在未来上，“∫”号用在创新上

数学符号语言就是这样的闪烁着人类的智慧，数学就是这样让人崇敬！例3求下列组合数的平方和

S=(C0)2+(C)2+…+(C)2

解析处理这个问题需要有点理性和悟性

先注意到下列二项展开式（此组合数与二项展开式有关）

(1+x)=C0+Cx+C2x2+…+C"x

类似地（理性思维）有

(+=c心+士+c++c

当上述两个式子两边相乘时，显然乘积右端的常数项正好是

(C)2+(C)2+…+(C)2

而乘积左端是

1+)1+）=1+)产

因此，所要求的和即是(1+x)2“中的常数项，也就是展开式(1+x)2“中x”的系数，那

当然便是C2。.于是便得

(C)2+(C)2+…+(C)2=C5=2m是

(n!)2

由上可知，这个组合恒等式的发现，是数学理性与思维悟性（心理倾向思维）共同作用的结晶.数学就是这样让人佩服其理性的心理倾向！

例4观察342=1156,3342=111556,33342=11115556，…，请写出3…342=？

解析这是对一个有特色的问题的探求，这个特色呈现出规律，因而可猜测为

3…342=1…15…56

个

R不个

这个猜测能证实吗？

数学的某种意识启引我们用字母与数字表示这些式子的左端，有

[3(10+10-1+…+10+1)n+1]2,k=1,2,…且n=1

将上式利用平方和公式展开，有

上式=n2(1024+1+102+…+10+1)+(6n-n2)(10+10*-1+…+10+1)+1故当n=1时，3…342=1…15…56.

R个个

这样，我们不但求得了结果，而且还引发我们推导类似的问题：例如：当n=2时，则当k=1,2,…时，有

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672=4489,6672=444889,66672=44448889,…,6…67=4…48…89

个R1个个

由上可知，数学素养中的这种意识（参见本套丛书中的《数学精神巡礼》第八章有8种意识)使某些规律明显呈现。数学就是这样流淌出某种意识，让人在欣赏中获得问题解决的方法，例5解方程x3-22x2+2x-2+1=0.

解析这给出的不仅是一个3次方程，而且系数中含有无理数，直接求解显然困难不小

观察事物，立场不同，观察到的结果也会不同，处理问题，若从某一角度用某种方法解决难以奏效时，数学思维的灵活性品质，引导我们不妨换一个角度去观察，换一种方法去处理便有可能“柳暗花明”，而“迎刃而解”

此时可将x看作“已知量”，将2看作“未知量”，于是原方程可整理为

x(√2)2-(2x2+1)2+x3+1=0

由一元二次方程的求根公式得

2=x+1或2=-x+1(x≠0)

否则原方程无意义，故得=万-1，=(，5+1±V2万-1)为所求

由上可知，此问题的求解展现出来了数学思维的优良品质.数学思维让人震撼！震撼油然产生欣赏.数学欣赏，是一种数学思维活动的展现

例6设实数x,y,z满足x+y+z=xz.

求证+各+

8xyz

5+1-2(1-x2)(1-y)(1-2)

解析这是一道有趣的代数问题我们先看这个等式的左端，分母显然是

(1-x2)(1-y2)(1-2)

通分

左式的分子=2x(1-y2)(1-z2)+2y(1-x2)(1-z2)+2z(1-x2)(1-y2)】

=2x(1-y2-z2+y2z2)+2y(1-x2-2+x22)+2z(1-x2-y2+x2y2)=2(x+y+a)-2x2y-2xy2-2yz2-2y2-23'x-2x'z+2xyz(yz+x+xy)

（*)

整理到此步，令人目眩神摇，眼花缭乱，怎样才能拨开迷雾

注意到题设条件x+y+z=xyz,我们来一个“双向替换”，即看到x+y+z就用y%代替，反之，看到xyz就用x+y+z代替.于是，我们便由式(*)有

2xyz-2x2y-2xy2-2y:-2yz2-22'x-2x'z+2(x+y+2)(yz+x+xy)=2xyz-2x'y-2xy2-2y'a-2yz2-2x'z-22'x +2xyz+2x'z+2x'y +2ya+2xyz+2xy2+2yz2+22'x +2xyz=8xyz=右边的分子

第一章数学欣赏的含义

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从上述证明过程可知，代数式的恒等变形是处理问题的关键之所在.其实，此题也可以用三角知识来证：

令x=tanA,y=tanB,z=tanC,由x+y+z=xyz,有

tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

由三角知识，我们便可推断有A+B+C=kπ(k为整数)，从而

2A +2B+2C=2kT

于是

2x

2tan A 2tan B

2tan C

1 -tan2A'1-tan2B'1 -tan2Ctan 2A tan 2B tan 2C=tan2A·tan2B·tan2C

(222

8xyz

(1-x2)(1-y2)(1-2

逐步推演，都是题中应有之义，显得多么自然、轻松，烦琐的计算一概省略了，

以上两种证法，充分体现了数学的和谐统一性，不得不让人油然而生欣赏之情趣.数学欣赏是学习数学的一种情趣表露

从上述诸例也可以看出，数学欣赏有多种角度，可从数学自身的美感，可从独立的审美情趣，也可从特有的价值观等。

1.2数学欣赏要欣赏什么？

在数学中，哪些内容可以成为欣赏的对象呢？著名数学家丘成桐曾接受《光明日报》记者采访时说：“数学是一门很有意义、很美丽，同时也是很重要的科学，从实用角度讲，数学遍及物理、工程、生物、化学和经济，甚至与社会科学也有很密切的关系.文学的最高境界是美的境界，而数学也具有诗歌和散文的内在气质，达到文学性的方面，达到一定境界后，也能体会和享受到数学之美.数学既有文学性的方面，也有应用性的方面，我对这些都感兴趣，探讨它们之间妙趣横生的关系，让我真正享受到了研究数学的乐趣.”①著名数学家陈省身先生曾有“我们欣赏数学，我们需要数学”和“数学好玩”等题词，强调了数学的真、美与善等不同层面.②可见，在陈先生和丘先生看来，数学具有真、善、美三个层次的表现力.这里，我们对数学的真善美的概念略加说明.所谓数学的真，就是数学的真理属性，全部的数学知识都是以数学的真理性为依归的.而数学的善，则是衡量数学功用价值的一个重要尺度.至于数

①沈耀峰，齐芳.丘成桐：享受数学之美[N].光明日报，2005-11-15(2)

②丁石孙，张祖贵.数学与教育(《数学·我们·数学》丛书)[M].长沙：湖南教育出版社，1991.

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数学欣赏拾趣

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学的美，则是数学艺术价值的一种体现.数学的真、善、美构成了数学表现力的主要层面，而

三者的综合则是全面审视并欣赏数学的基本起点.因此，数学的欣赏可以从上述三个维度各自展开并予以适当的组合.①

数学是真、善、美的统一体，真、善、美也是数学精神的精髓（参见本套丛书中的《数学精神巡礼》).美与情感结合产生美满，美与善结合产生美好，美与眼光结合产生美观，美与领略结合产生美妙.由此可知数学欣赏也是一种意识，一种喜爱数学的主体意识

数学之美是最能令人作为欣赏的对象.除了数学的美可以作为欣赏对象之外，数学的真和善也同样可以作为数学欣赏的对象.数学的真、善、美，既可以相对独立地作为欣赏的对象，也可以两两组合，如真一善，真一美，善一美，作为数学欣赏的二维对象，还可以真一善美三位一体作为数学欣赏的对象.如果我们从某个层面来看前面的6道例题的话，也可以依次欣赏到数学的“真”“善”“美”“善一美”“真一美”“真一善”.源自于数学的真与善，是数学精神的两个重要层面，是刻画世界图式的两个基本诉求.在数学的真与善这样一个维度上，数学的美也随之展现.例如，在阿基米德、牛顿、拉普拉斯、傅里叶、高斯、麦克斯韦、狄拉克、爱因斯坦、冯·诺依曼等众多数学家和科学家的研究中，大自然及其现象成为其研究所因循的本宗.如三维状态下著名的拉普拉斯方程：g+9+g=0,既是最基本的偏微分方程形式，还是刻画电场、引力场和流场等有势场的最有效的数学物理方程，而这样一个兼具数学的真与善的著名方程，其形式（对称、均匀、简捷、整齐、划一、齐次等）之美也是如此地突出.真实地展现了在真一善层面上的美妙，堪称数学真、善、美的合一，

张奠宙教授在他的两篇论文②③分别提出了如下观点与小标题：欣赏数学的“真”，震撼于数学之理性精神；欣赏数学的“善”，震撼于数学模型之深刻：欣赏数学的美，震撼于数学思维内在之和谐：欣赏数学的普遍价值：理性之美；欣赏数学的人文意境：欣赏数学的特定内涵：等价美；欣赏数学美的美观层次，以对称与对仗为例：欣赏数学的“和谐美”，与美好相连接：欣赏数学的历史生成，以向量为例

由上所述，通过对数学真、善、美（三个层次或）三个维度的立体分析和结构剖析，数学欣赏的对象不仅有极大的丰富性，而且显示了很好的层次性和结构性，真、善、美是数学欣赏的主体.其实在张教授的观点中，数学欣赏的对象还是比较宽泛的.笔者也认为，诸如数学精神、数学眼光、数学思想、数学方法、数学解题、数学技能、数学应用、数学建模、数学竞赛、数学测评、数学史话以及数学文化等也均应成为数学欣赏的对象.为此，笔者撰写了这套丛书以抛砖引玉.在这套书中也介绍了笔者的欣赏体验

综上，数学欣赏就是欣赏数学的数、形结构形象之巧，欣赏数学结论深刻之妙，欣赏数学的文化底蕴之浓，欣赏数学的理性思维之慧，

①②黄秦安，刘达卓，聂晓颖.论数学欣赏的“含义”“对象”与“功能”一数学教育中的数学欣赏问

题[J].数学教育学报，2013(1)：8-9。

②张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考，2010(1,2)：3-7

③张奠宙.谈课堂教学中如何进行数学欣赏[J].中学数学月刊，2010(10,11,12)：1-3.

···试读结束···