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图书名称：《数学高考参考》

【作　者】甘志国著

【页 数】 613

【出版社】 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 , 2016.01

【ISBN号】978-7-5603-5810-9

【价 格】78.00

【分 类】中学数学课-高中-升学参考资料

【参考文献】 甘志国著. 数学高考参考. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2016.01.

图书封面：

图书目录：

《数学高考参考》内容提要：

本书是2016届高考师生数学复习备考的参考用书, 包括高中数学的10部分主干知识 (函数, 导数, 数列, 三角函数, 平面向量, 不等式, 平面解析几何, 立体几何, 排列、组合与二项式定理, 概率与统计) 及整数性质, 综合问题, 模拟试卷, 高考研究等内容, 其中“高考研究”对2015年的高考题做了详尽的研究。

《数学高考参考》内容试读

第1章函数

1.1把简单化为复杂来解题

等价转化是解数学题的一种基本思想，通常是把所给的条件逐渐转化，使之越来越简单，该条件就好用了，从而达到解题的目的

事物都是辩证的.笔者发现，有时，在解题的局部过程中，把简单的条件等价转化为复杂的条件来解题反而有助于解题.下面兹举两例

例1若“x>1”是“不等式2>a一x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是().

A.a>3

B.a<3

C.a>4

D.a<4

解A.由x>1曰2x十x>3,2x>a一x台2x十x>a可得答案，例2“a>b”是“34>2b”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解D.因为a>b台3>3，所以设3=x(x>0)后，得题意即“若x>0,则x>3是x>2的什么条件”，而36>2,3=2,3<2均有可能出现(即（受）>1，（侵）°=1，（侵）°<1均有可能出现.分别在b>0,6=0,6<0时)，所以“若x>0,则x>3是x>2的既不充分也不必要条件”，进而可得本题的答案，

1.2是奇函数的周期函数的半周期是零点

定理是奇函数的周期函数的半周期是零点，证明

设函数f)的一个周期是工，得f()=f侵-T)

∫()=-f(份)，所以f(3)=0,即欲证结论成立。

题目(2005年高考福建卷理科第12题)f(x)是定义在R上的以3为周

·1

数学高考参考

SHUXUE GAOKAO CANKAO

期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是().

A.2

B.3

C.4

D.5

解D.由f(x)是奇函数，得f(0)=0.还可得f(3)=f(0)=0,f(5)=f(2)=0,f(1)=-f(-1)=-f(2)=0,f(4)=f(1)=0,所以方程f(x)=

0在区间(0,6)内有解1,2,3,4,5，所以可排除选项A,B,C,选D.

剖析由定理知，方程f()=0还有两个零点多，号所以方程f)=0在区间(0,6)内至少有7个解1，号，2,34，号，5.通过面函数图像，容易找到

满足题设且方程f(x)=0在区间(0,6)内有且仅有上述7个解的函数f(x),所以所求最小值是7.

注易证得以下一般性的结论：

(I)若f(x)是定义在R上的以正数T为周期的奇函数，且f(a)=

00

，.T

且取最小值时的零点分别是0，a,T一a,2:

(2)若f(x)是定义在R上的以正数T为周期的奇函数，则函数f(x)在

区间[0，D上零点个数的最小值是2，且取最小值时的零点分别是0，

(3)若f(x)是定义在R上的以正数T为周期的偶函数，且f(a)=0(0

1.3用二分法的原理巧解三道高考选择题

题1(2009年高考辽宁卷理科第12题)若x1满足2x十2x=5,x2满足2x+21og2(x-1)=5,则x1+x2=(

A号

B.3

c号

，D.4

普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A版》（人民教育出版社，

2007年第2版)（下简称《必修1》）第86~94页讲述了“用二分法求方程的近似解”，其原理是《必修1》第88页的黑体字“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)

·2·

第1章函宁数

DIYIZHANG HANSHU

在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根”

用该原理可给出高考题1的巧解：设f(x)=2x+2一5，因为f(1)<0,

f(侵)>0，所以函数f(x)的零点x∈(1,2，设g(x)=2x+210g:(红-1)-5,因为g2)<0,g(侵)>0，所以函数g(x)的零点x∈(2，号）所以

x1+x2∈(3,4)，由排除法知选C.

题1的一般解法首先，易知函数y=2x十2(x∈R),y=2x十2log2(x一1)(x>1)在各自的定义域上均是增函数，且值域均是R,所以题设中的x1,x2均是唯一存在的.

方程2x+2:=5即2=号-x,方程2x+210g:x-1D=5即

1og:z-1)-号-z

令x-1=t,得方程21=5-x即2=多-t,方程10g:(x-1)=5-

2

2

x即1o8:t=是-么下面通过图1求方程2=号-，l0=号-t的根1,4之

和.

2

S=

s=log2 t

B(4252)

图1

在图1中，有A(t,51),B(t2,S2)两点关于直线s=t对称，所以=t2,

2=,即A(,)在直线s=号-t上，所以6十=号再由1一1=，

·3·

第1章函数

DIYIZHANG HANSHU

对于选项D,由于f(2)=4sin5-2<0,f(4)=4(sin9-1)<0,所以还不能由此断定函数f(x)在区间[一2,0]上是否存在零点.接下来可考虑二分

法：又因为f3)=4sin7-3<4sin紧-3<0（因为2x<7<84sin登-名=6+E-名>0，得函数x)在区间3，)，(？4)上均存在零点，排除选项D.

也可这样排除选项D.由以上解法得f(2)<0,f(4)<0,f(3)<0,所以还不能由此断定函数f(x)在区间[2,4幻上是否存在零点.当x∈[2,4]时，

2x+1∈[5,91.又受∈5,9]，所以可得f。2)=185>0,得函数4

fx)在区间2,5m2),(,2,4)上均存在零点.所以选A下面再给出高考题3的第三种解法，

解法3（直接法）A.设2x+1=t,得x=1,所以函数f(x)的零点即

2

方程8sint=t一1的根，也即两函数g(t)=8sint,h(t)=t一1图像交点的横坐标.先用几何画板画出两者的图像如图2所示

h()=t-1

6

4

-51

-2

g(t-8sin t

图2

·5

数学高考参考

SHUXUE GAOKAO CANKAO

当x∈[-4，-2]时4∈[-7，-31.又[-7，-3]=[x,-]

又g(-7)>-8=h(-7),g(-3)=-8sin3>-4=h(-3)(因为sin3=

sinx-3)h0.

即当x∈[一4，一2]时函数f(x)不存在零点，

1.4这三个反例均不对

文献[1]构造的两个反例是：

反例1已知f(x)的定义域是[-2，一1]U[3,+∞)，求f(x2一1)的定义域.

解析通常的求法是：由x2一1∈[-2，一1]U[3,+∞)，得x∈（一∞，

一2]U{0}U[2,+∞)，所以函数f(x2一1)的定义域是(-∞，一2]U{0}U[2,

十∞)

设函数f(x)=√(x+1)(x+2)(x一3)，易知其定义域是[-2，一1]U[3,十∞)，但函数f(x2-1)=√x2(x+1)(x2-4)的定义域是(-o∞，

-2]U[2,+∞).

说明通常的求法有误

笔者的分析函数f(x2一1)=√x2(x2+1)(x2一4)的定义域就是

(一∞，一2]U{0}U[2,+∞)，通常的求法无误.

反例2已知f(2)的定义域是[1,2]，求函数y=f(x)的定义域解析通常的求法是：由x∈[1,2]，得2x∈[2,4]，所以函数y=f(x)的定义域是[2,4].

设函数f(2)=√2：(2r-2)(4一2)，易知其定义域是[1,2]，但函数f(x)=√x(x-2)(4-x)的定义域是(-∞，0]U[2,4].

说明通常的求法有误，

设函数f(2r)=√(2r+a)(2r一2)(4-2)（常数a≥0），易知其定义域是[1,2]，但函数f(x)=√(x+a)(x-2)(4-x)(常数a≥0)的定义域是(一∞，一a]U[2,4幻，得函数y=f(x)的定义域不唯一，也说明通常的求法有误

笔者的分析在函数f(2)=√(2+a)(2一2)(4一2)(a≥0)中，因为2>0，所以应得f(x)=√(x+a)(x-2)(4-x)(常数a≥0，x>0),所

·6·

···试读结束···