《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》贺慧霞,孙玉泉,李娅|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

时间: 2023-05-15 12:41:09  23 习题 习题 北京航空航天大学出版社

图书名称:《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》

【作 者】贺慧霞,孙玉泉,李娅
【丛书名】高等学校通用教材
【页 数】 247
【出版社】 北京:北京航空航天大学出版社 , 2021.02
【ISBN号】978-7-5124-3444-8
【价 格】49.00
【分 类】数学分析-高等学校-教学参考资料
【参考文献】 贺慧霞,孙玉泉,李娅. 工科数学分析 同步辅导及习题详解 下. 北京:北京航空航天大学出版社, 2021.02.

图书封面:

图书目录:

《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容提要:

本书主要介绍了数项级数、函数列与函数项级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数的数分重积分、曲线积分、曲面积分、含参变量积分的相关内容。

《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容试读

第11章数项级数

11.1数项级数的收敛性

11.1.1主要内容

定义1设x1,x2,…,.,…是一个数列,将“和式”

x1十x2十…十x。十…

称为一个无穷级数,记做∑x.,其中工。是级数的通项,对任意的正数”,称级数的前n个通

项的和

S。=x1十x2十…十xm

为级数的前n个项的部分和.

定义2若级数∑x。的部分和数列S。收敛到一个实数S,即有imS。=S,则称级数

∑x,收敛,并称S为级数∑x,的和,并记做∑x.=S.

n=1

定理1若∑a.收敛,则1ima,=0.

定理2设∑a,和∑b.收敛,则对任意的实数a,B,∑(aa.十b.)收敛.

=1

定理3若级数收敛,则添加或删除有限项,级数仍然收敛

定理4设∑4.收敛,把此级数的项任意组合,但不改变其先后的次序,得到的新级数

仍然收敛,且新级数和∑4。有相同的级数和。

定理5如果级数(a1十a2十…十ak,)十(a,+1十a,+2十…十a2)十…十(a,+1十

a。+2十…十an)十…,这里k1<…<…,括号里面的每一项符号一致,且收敛,则∑a.收敛,

11.1.2典型例题

例1,11求级数十+++十…的和

解由于ms,=m1+十2十十…十))-1=e-1,所以级数

2

工科数学分析(下册)同步辅导及习题详解

了1收敛,且其和为e-1

台n!

例11.1.2设0<1,求级数∑x2

1一之和

…十

1

1-x1一x2寸

所以)

注记:连锁消去法在级数的计算或者证明中是比较有效的一种方法,

思考题:计算级数∑arctan

2

一之和

=2

4n2-4n+

1

1

提示:利用arctan2n2=arctan2n-1-arctan2n+1

例11.1.3判定级数的敛散性∑enL

n=1

n”

解记um=e"n!

n”,则limu+=lim

=1,比值判别法无效

但是,+1

e

>1→{u.}单调递增,因为u1=e,所以lim4m≠0,因此原级数

发散

例11.1.4研究级数∑sin nx的收敛性.

解(1)若x=kπ,其中k为整数,则sin n=0,所以级数∑sin n收敛.

n=】

(2)若x≠kπ,其中k为整数,则当n趋于无穷时,sin nx不趋近于0,否则假设lim(sin nx)=0,则lim[sin(n+l)x]=0,但是

sin(n +1)x sin nxcos x cos nasin x-

0,

从而lim(cos nxsin x)=0,但是sinx≠0(x≠kπ),故一定有

lim cos nx =0.

并幸国

由于1=sin'nx十cos2nx,令n→oo,两端取极限,得1=0,矛盾,所以假设错误,即lim(sin nx)≠0,

第11章数项级数

3

所以级数∑sin nr发散

例11.1.5计算级数∑"cos nx的和,其中|g<1.

解记S.-2gc0sk虹,两边同乘以2qc0sx,得

2gc0sx·S.=}coscoc)co(1).

即2gc0sx·S.=g"+1cos(n+1)x+S。-qcos十(g2+qS。一g"+2 cos nI),解此方程可得

S.gcos nr-g"cos(n+1)z+gcosg gcos rg

1+g2-2qcos x

1+g2-2qcos x

即∑g cos nx=

qcos x -q

=1

1+g2-2gcos x

11.1.3习题讲解

1.求下列级数的和:

四为-(》(护++》-1》

,所以

1-(←2)1

lim S =

1

(2)

(其中m为一给定正整数).

1

n(n十m)

limS。=lim∑1

-++号++)

(3)

1

解lim S.lim

2m2(中)小-

w

1

(2n-1)(2n+1)

1

1

2(2k+1)21

(5)∑8n-2)(8m+1D

工科数学分析(下册)同步辅导及习题详解

(6)∑2m-1

2"

解lim S.lim

k=1

所以1imS.=3.

(7)

2n+1

n2(n+1)2

解注意到

S.=

所以lim S=1.

(8)∑(m+2-2m+1+n).

解注意到

.=2wa+-2m+T+

=2[(wn+2-m+I)-(wn+-n)]=√m+2-√m+1-√2+1,

所以imSm=1一√2

(9)2In D(2n-D'

n(2n+1)

解注意到

S.=>[ln n-In(n+1)+In(2n+1)-In(2n-1)]

m+1

所以lim S=ln2.

2.证明下列级数发散:

(1)万1

1

证明因为lim

=1≠0,所以级数发散.

(2)∑(-1)n+1

证明因为1im(-1)””,

n+1=1≠0,所以级数发散

第11章数项级数

5

80-)”

证明因为m1-)”=0,所以级数发散4)∑”-lnn

证明因为im”一ln”=1≠0,所以级数发散。

n+√m

3.设级数∑工,收敛,∑y,发散,证明:级数∑(x,十y)发散.

证明设级数∑x.部分和为S.,因为∑x.收敛,设imS.=a,假设新数列∑之,收

敛,其中之。=xm十ym,其部分和序列为S2m,设imS2m=b,则级数

2.=2-x)=2-2=b-,

所以级数∑y,收敛,与已知矛盾,因此级数∑,发散。

4.设级数∑x。收敛,证明:级数∑(x。十x1)也收敛,并举例说明逆命题不成立

证明因为∑x收敛设5=习则公.+1)=2S-1所以级数.十x+1)收敛,

反之,不成立,例如:x。=(一1)”.

5.设数列{nxn}与级数∑n(x。一x+1)都收敛,证明:级数∑x。收敛.

证明

2n-)=2[,-a+1+

=∑nx.-(n+1)x]+∑x

=1

=x1-lim(n+1)x+∑x.,

.-lim(+D+nr..).

因为级数∑n(x。一x1)和数列(xn》都收敛,所以级数∑x.收敛。

6.已知级数∑xn收敛,证明:imx1+2x2+…十nxn=0.

证明记S。=∑x4,则

limS+2S,-s)+…+m(S.-S.)=imn5。-(S,+S,+…+5)

···试读结束···

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