《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》贺慧霞,孙玉泉,李娅|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载
图书名称:《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》
- 【作 者】贺慧霞,孙玉泉,李娅
- 【丛书名】高等学校通用教材
- 【页 数】 247
- 【出版社】 北京:北京航空航天大学出版社 , 2021.02
- 【ISBN号】978-7-5124-3444-8
- 【价 格】49.00
- 【分 类】数学分析-高等学校-教学参考资料
- 【参考文献】 贺慧霞,孙玉泉,李娅. 工科数学分析 同步辅导及习题详解 下. 北京:北京航空航天大学出版社, 2021.02.
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图书目录:
《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容提要:
本书主要介绍了数项级数、函数列与函数项级数、傅里叶级数、多元函数的极限与连续、多元函数的数分重积分、曲线积分、曲面积分、含参变量积分的相关内容。
《工科数学分析 同步辅导及习题详解 下》内容试读
第11章数项级数
11.1数项级数的收敛性
11.1.1主要内容
定义1设x1,x2,…,.,…是一个数列,将“和式”
x1十x2十…十x。十…
称为一个无穷级数,记做∑x.,其中工。是级数的通项,对任意的正数”,称级数的前n个通
项的和
S。=x1十x2十…十xm
为级数的前n个项的部分和.
定义2若级数∑x。的部分和数列S。收敛到一个实数S,即有imS。=S,则称级数
∑x,收敛,并称S为级数∑x,的和,并记做∑x.=S.
n=1
定理1若∑a.收敛,则1ima,=0.
定理2设∑a,和∑b.收敛,则对任意的实数a,B,∑(aa.十b.)收敛.
=1
定理3若级数收敛,则添加或删除有限项,级数仍然收敛
定理4设∑4.收敛,把此级数的项任意组合,但不改变其先后的次序,得到的新级数
仍然收敛,且新级数和∑4。有相同的级数和。
定理5如果级数(a1十a2十…十ak,)十(a,+1十a,+2十…十a2)十…十(a,+1十
a。+2十…十an)十…,这里k1<…<…,括号里面的每一项符号一致,且收敛,则∑a.收敛,
11.1.2典型例题
例1,11求级数十+++十…的和
解由于ms,=m1+十2十十…十))-1=e-1,所以级数
2
工科数学分析(下册)同步辅导及习题详解
了1收敛,且其和为e-1
台n!
例11.1.2设0<1,求级数∑x2
1一之和
…十
1
1-x1一x2寸
所以)
注记:连锁消去法在级数的计算或者证明中是比较有效的一种方法,
思考题:计算级数∑arctan
2
一之和
=2
4n2-4n+
1
1
提示:利用arctan2n2=arctan2n-1-arctan2n+1
例11.1.3判定级数的敛散性∑enL
n=1
n”
解记um=e"n!
n”,则limu+=lim
=1,比值判别法无效
但是,+1
e
>1→{u.}单调递增,因为u1=e,所以lim4m≠0,因此原级数
发散
例11.1.4研究级数∑sin nx的收敛性.
解(1)若x=kπ,其中k为整数,则sin n=0,所以级数∑sin n收敛.
n=】
(2)若x≠kπ,其中k为整数,则当n趋于无穷时,sin nx不趋近于0,否则假设lim(sin nx)=0,则lim[sin(n+l)x]=0,但是
sin(n +1)x sin nxcos x cos nasin x-
0,
从而lim(cos nxsin x)=0,但是sinx≠0(x≠kπ),故一定有
lim cos nx =0.
并幸国
由于1=sin'nx十cos2nx,令n→oo,两端取极限,得1=0,矛盾,所以假设错误,即lim(sin nx)≠0,
第11章数项级数
3
所以级数∑sin nr发散
例11.1.5计算级数∑"cos nx的和,其中|g<1.
解记S.-2gc0sk虹,两边同乘以2qc0sx,得
2gc0sx·S.=}coscoc)co(1).
即2gc0sx·S.=g"+1cos(n+1)x+S。-qcos十(g2+qS。一g"+2 cos nI),解此方程可得
S.gcos nr-g"cos(n+1)z+gcosg gcos rg
1+g2-2qcos x
1+g2-2qcos x
即∑g cos nx=
qcos x -q
=1
1+g2-2gcos x
11.1.3习题讲解
1.求下列级数的和:
四为-(》(护++》-1》
解
,所以
1-(←2)1
lim S =
1
(2)
(其中m为一给定正整数).
1
n(n十m)
解
limS。=lim∑1
-++号++)
(3)
1
解lim S.lim
2m2(中)小-
w
1
(2n-1)(2n+1)
1
解
1
2(2k+1)21
(5)∑8n-2)(8m+1D
解
工科数学分析(下册)同步辅导及习题详解
(6)∑2m-1
2"
解lim S.lim
k=1
所以1imS.=3.
(7)
2n+1
n2(n+1)2
解注意到
S.=
所以lim S=1.
(8)∑(m+2-2m+1+n).
解注意到
.=2wa+-2m+T+
=2[(wn+2-m+I)-(wn+-n)]=√m+2-√m+1-√2+1,
所以imSm=1一√2
(9)2In D(2n-D'
n(2n+1)
解注意到
S.=>[ln n-In(n+1)+In(2n+1)-In(2n-1)]
m+1
所以lim S=ln2.
2.证明下列级数发散:
(1)万1
1
证明因为lim
=1≠0,所以级数发散.
(2)∑(-1)n+1
证明因为1im(-1)””,
n+1=1≠0,所以级数发散
第11章数项级数
5
80-)”
证明因为m1-)”=0,所以级数发散4)∑”-lnn
证明因为im”一ln”=1≠0,所以级数发散。
n+√m
3.设级数∑工,收敛,∑y,发散,证明:级数∑(x,十y)发散.
证明设级数∑x.部分和为S.,因为∑x.收敛,设imS.=a,假设新数列∑之,收
敛,其中之。=xm十ym,其部分和序列为S2m,设imS2m=b,则级数
2.=2-x)=2-2=b-,
所以级数∑y,收敛,与已知矛盾,因此级数∑,发散。
4.设级数∑x。收敛,证明:级数∑(x。十x1)也收敛,并举例说明逆命题不成立
证明因为∑x收敛设5=习则公.+1)=2S-1所以级数.十x+1)收敛,
反之,不成立,例如:x。=(一1)”.
5.设数列{nxn}与级数∑n(x。一x+1)都收敛,证明:级数∑x。收敛.
证明
2n-)=2[,-a+1+
=∑nx.-(n+1)x]+∑x
=1
=x1-lim(n+1)x+∑x.,
.-lim(+D+nr..).
因为级数∑n(x。一x1)和数列(xn》都收敛,所以级数∑x.收敛。
6.已知级数∑xn收敛,证明:imx1+2x2+…十nxn=0.
证明记S。=∑x4,则
limS+2S,-s)+…+m(S.-S.)=imn5。-(S,+S,+…+5)
···试读结束···