《高三数学有效学习》邱雁，况亦军，徐岳灿编写|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《高三数学有效学习》

【作　者】邱雁，况亦军，徐岳灿编写

【页 数】 215

【出版社】 北京：中国轻工业出版社 , 2004.01

【ISBN号】7-5019-4128-9

【价 格】15.80

【分 类】数学课－高中－教学参考资料

【参考文献】 邱雁，况亦军，徐岳灿编写. 高三数学有效学习. 北京：中国轻工业出版社, 2004.01.

图书目录：

《高三数学有效学习》内容提要：

本书为高三学生学习数学的参考用书。本书由全国名校----上海中学数学教研组特级、高级教师编写。编写中吸取了人民教育出版社专家、人教版新教材编写教师提出的编写意见。

《高三数学有效学习》内容试读

第一章概率与统计1

第一章

口概率与统计

第一节离散型随机变量

知思构网络

(一)内容提要

本节主要研究了离散型随机变量的分布列、期望和方差。

1.份布列设离散型随机变量专可能取的值为1,2，…，，…，专取每一个值x(i=1,2,…)的概率P(专=)=p,则称表

p1p2…pi…

为随机变量专的概率分布，简称为专的分布列。

分布列具有以下两个基本性质：

(1)p≥0，i=1,2,;

(2)p1+p2+…=1。

常见的离散型随机变量的分布有0~1分布和二项分布：0~1分布：若随机变量专的分布列为

0

P

P1-P

其中0

<1,则称专服从0~1分布，记为专~(0,1)。

二项分布：在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P(专=k)=C喷pg(k=0,1,·,q=1-p),其中p为事件A在一次试验中发生的概率。设随机变量专为事件A在n次试验中发生的次数，则专的分布列为

0

1

n

P

C9p°g

Chpg-1

…

Captg-

C0p"g°

称这样的随机变量专服从二项分布，记为专~B(n,P),并记Cpg-=b(en,P)。

2.离散型随机变量的期望若离散型随机变量专的所有可能取值为x:(i=1,2,…),且取这些值的概率分别为p:(i=1,2,…),则称E昨=1p1+2p2+…+xpn+…（i=1,2,…)为专的数学期望（简称期望）。

期望反映了离散型随机变量取值的平均水平。

以下是期望的一些性质，式中的a、b、c都是常数，专和7都是随机变量：

(1)E(C)=C;

2高三数学有效学习

(2)E(aE+b)=aE(5)+b;

(3)E(5+n)=E()+E(n);

(4)若专和n是相互独立的随机变量，则E(n)=E()·E(n)。期望与分布列有如下关系：

(1)若专~(0,1)，则EE=P;

(2)若专~B(n,P),则E陛=nP。

3.离散型随机变量的方君若离散型随机变量专所有可能的取值是x1,2,…,xm,…，且取这些值的概率分别是p,p2,…,Pa,…,则称D5=(1-E)2·p1+(x2-E)2·p2+…+(xn-E)2·Pn+…为随机变量专的均方差（简称方差）。并称D5为随机变量专的标准差，记为σ飞。

方差和标准差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

以下是方差的一些性质，式中的a、b、c都是常数，专和η都是随机变量，且它们的方差存在：

(1)D(C)=0:

(2)D(a5+b)=a2·D(5);

(3)若专和η是相互独立的随机变量，则D(专+n)=D()+D(n)。方差与分布列有如下关系：

(1)若专~(0,1)，则D5=p(1-p):

(2)若专~B(n,P),则D=nP(1-p)。

随机变量专的期望E䏝与方差DE满足如下关系：

DE=E -E2

(二)重点难点

(1)离散型随机变量的分布列是本节的重点，也是一个难点，它是求离散型随机变量期望

和方差的基础。写出分布列的关键在于求出随机变量专每个可能的取值：所对应的概率P:。

(2)期望和方差是离散型随机变量专的两大数字特征，公式多、计算繁，只有充分理解这两个概念的本质含义，熟练地运用性质及常用公式才能正确求解。

蟠二、有感学习指导个一)学法导引

在本节中出现了不少新的概念，如随机变量、分布列、期望与方差等，正确理解这些概念及相关的一些性质是学好这一节的关键。要做到正确区分离散型随机变量和连续型随机变量：能清楚地掌握分布列的构成要素；能熟练地运用公式及性质计算随机变量的期望与方差等。

在正确理解概念的基础上，希望同学们能更深一层地挖掘概念的内涵。比如说，为什么要引入期望与方差的概念？事实上，通过学习我们知道，期望和方差是离散型随机变量的两大数字特征，是研究随机变量的依据。

在学习中还要注意进行适量的练习，这样不仅能加深对相关概念的理解，也能开阔解题的思路。

第一章概率与统计3

(二)疑难剖析

例1.下列各表能否称做离散型随机变量的分布列？为什么？

(1)

1

2

3

4

(2)

1

2

3

4

-0.1

0.6

0.2

0.1

0.4

0.1

0

0.4

1

2

3

2

(3)

1

1

1×2

2×3

3×4

2

【剖析】判断一个离散型随机变量专的分布列是否正确，关键是看这个分布列是否满足分布列的两个基本性质：

I.p≥0，i=1,2…

Ⅱ.p1+p2+…=1。

【解】(1)由于p1=-0.1<0,不满足性质I,所以分布列(1)不正确

(2)由于p1+p2+p3+p4=0.9<1,不满足性质Ⅱ，所以分布列(2)也不正确

1=1-1

(3)这里p=k2m=2X3…=+7n中1

.pI+p2+…+Pn

3*23++m1

1

=-》+(分)*+（只中）

因为

m+pm+…+p+=im1-n+)=1

所以分布列(3)是正确的

(4)这里=)，n=12…

∴p1+p2+…+pa+…

=7+x()+7x(+…+7x(+…

21

4高三数学有效学习所以分布列(4)是不正确的

例2.设离散型随机变量的分布列为

0

2

P

1

1

6

2

则：()P(≤)

(2)P(1<≤)=

(3)P(1≤5≤2)=

【剖析】对于离散型随机变量专，专落在某个区间中的概率等于该区间中包含的变量所

有可能值所对应的概率之和知在区间[0，】中，包含的变量可能值为5=0及5=1，所以P

(0≤≤子)=P(5=0)+P(5=1)。

【解】(1)P(5≤）=P(5=0)=分

(2)P(1<≤号)=P()=0

(3)P(1≤专≤2)=P(专=1)+P(专=2)

例3.设离散型随机变量X的分布列为

X

2

-1

0

2

3

0.1

0.20.250.20.150.1

求：(1)Y=2X的分布列；(2)Z=?的分布列。

【剖析】(1)由于Y=2X为单调函数，X与Y一一对应，所以每个随机变量的概率就

是所对应的x:的概率。

又Y的所有可能取值为-4，-2,0,2,4,6。

Y

-4

-2

0

2

4

6

所以，Y=2X的分布列为

P

0.1

0.20.250.20.150.1

(2)Z=?不是单调函数，所以每个随机变量是的概率应是±x:所对应的概率之和。

又Z的所有可能取值为0,1,4,9。

以z=1为例，P(z=1)=P(x2=1)

=P(x=1)+P(x=-1)

第一章概率与统计5

=0.4

类似可得，P(z=0)=0.25

P(z=4)=0.25

P(z=9)=0.1

Z

0

4

9

所以，Z=X?的分布列为

0.25

0.4

0.25

0.1

-1

0

2

例4.设离散型随机变量专的分布列为

2

1

1

1

1

6

6

12

则E形=

DE=

【剖析】给定任一离散型随机变量的分布列，我们都可以根据公式：

E昨=x1·p1+2·p2+…+xn·pn+…

DE=(x1-E)2·p1+（知-E)2·p2+…+(xn-E)2·p+…

求出变量的期望和方差。

故，此题中

E=(-1)×号+0x哈+分×哈+1×7+2x字号

D5=(-1-号2×分+0-号2×石+（分+号尸×石+(1+号2×2

+2-x4

器

【说明】借助此题，也请大家注意关于离散型随机变量方差的一个常用公式：D=E?可

E专，证明如下：

将公式DE=(x1-E)2·p1+(-E)2,pP2+…+(x。EE)2pn+

变形为：D店=E(专-EE)产

=E(-25·E5+E)0

=E学-2E形·E吃+E?专（由期望的性质可得）⊙

.DE=E-EE

如本题中，贴=了。对于随机变量日，由例3的方法，可得？的分布列为

6高三数学有效学习

所以，=-5=-(}=

例5.证明方差的基本性质：D(a+b)=a2D5,其中，专为随机变量，a、b为常数。

【证明】D(aE+b)=E(a吃+b)2-E(a砖+b)

=E(a2+2ab5+b2)-[E(a)+E(b)]2a2Eg2+2abEg+E(B2)-(aE+b)2a2 Eg2+2 abE+b2-(a2 E2E+2abE+b2)=a2E-a2E25

=a2(E-E2)

a2D

..D(a+b)=a2D

【说明】在本题的证明中，用到了期望和方差的一些基本性质以及期望与方差之间的关

系式DE=E-E5。

例6.设随机变量专和7相互独立，其分布列分别为

0

1

2

3

0

1

2

3

4

和

P

0.3

0.1

0.2

0.4

0.5

0.1

0.2

0.1

0.1

求：(1)E(25+1);(2)D(2n+1):(3)E(35+5n;(4)D(35+57)。

【剖析】求解本题的关健在于熟练地运用离散型随机变量期望及方差的基本性质。

【解】由随机变量专和η的分布列易得：

EE=1.7D5=1.61;Em=1.2

Dm=1.96

(1)由期望的基本性质E(a+b)=aE+b,可得

E(25+1)=2E+1=2×1.7+1=4.4

(2)由方差的基本性质D(a吃+b)=a2D5,可得

D(2n+1)=22·Dm=4×1.96=7.84

(3)专与η相互独立，所以由期望的基本性质E(专+n)=E砖+En,可得

E(35+5n)=E(3)+E(5n)

=3E5+5Em

=11.1

(4)专与n相互独立，所以由方差的基本性质D(专+n)=D+Dm,可得

D(35+5n)=D(3)+D(5n)

=9·DE+25·Dm

···试读结束···