《数的几何引论》朱尧辰著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《数的几何引论》

【作　者】朱尧辰著

【页 数】 241

【出版社】 合肥：中国科学技术大学出版社 , 2019.05

【ISBN号】978-7-312-04643-8

【价 格】50.00

【分 类】数的几何

【参考文献】 朱尧辰著. 数的几何引论. 合肥：中国科学技术大学出版社, 2019.05.

图书封面：

图书目录：

《数的几何引论》内容提要：

本书给出数论分支之一-数的几何的基本理论和方法，内容包括：格的基本性质，Minkowski关于凸体的两个基本定理，二次型的约化理论，临界行列式，堆砌与覆盖，以及数的几何对一些数论问题的应用。本书可作为大学数论专业教材或参考书，也可供有关科研人员阅读。

《数的几何引论》内容试读

第1章n维点集

本章是全书的预备，给出维欧氏空间中整点和凸体及其他有关概念.

1.1整点

我们将Rn中的点(x1,…,xn)等同于向量x=(c1,…,cn.若(c1,…,xn)∈

R”的所有分量都是整数，则称它为一个整点，x称为整向量.若整数x1,·,xn不同时为零，则(x1,…,xn)称为非零整点.若非零整点x=(c1,…,xn)的所有分量的最大公因子等于1，也就是说，它不能表示为ux'的形式（其中u是大于1的整数，x'是非零整点)，则称它为本原整点（简称本原点）.记n维向量

e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,em=(0,…,0,1)

那么x=(x1,…,xn)是一个整点，当且仅当

(1,…,xn∈Z)

Zn也记作Ao:

设点集MCR”.若对于任何x,y∈化，总有x士y∈化，则称M是一个模

因此，若M是一个模，则它含有点0，并且M中任意有限多个点的整系数线性

组合也在M中.如果x(i=1,2,…,m)是模M中的m个向量，具有性质：

)每个x∈M可表示为x=∑ax⊙，a:∈Z(i=1,…,m),

2

数的几何引论

仙诸x间在Q上线性无关，即ax国=0，a,∈Zi=1,…,m)分，=0

1=1

(i=1,…,m)

则称x@(i=1,2,…,m)是模M的一组基

可以证明（参见文献[⑨）：如果化二Zn是一个模，并且至少含有一个非零点，则它必有一组下列形式的由m(≤n)个向量组成的基：

x)=(0,…,0,E,…,Em),xi卡0(i=1,…,m)

显然Z”本身是一个模，e1,·,en是它的一组基，

我们下面给出关于2维情形（即平面整点）的一些结果

引理1.1.1设0≤a

N(T)=∑fml

neZn(a,b】

证设整数n∈(a,b),记A=(n,0),B=(n,f(m),那么线段AB上的整点个数为[f(n)川+1（包括A),因此推出结论

口

例1.1.1设p,q>2是两个不相等的素数，则

p-1)/2

(q-1)/2

[]+

p-1.9-1

2

证考虑直角坐标平面上以O(0,0),A(p/2,0),B(p/2,q/2)和C(0,q/2)为顶

点的矩形Ⅱ内部（即不含边界）的整点个数.矩形对角线OB所在的直线方程是

qx-py=0.若整点（传，）在此直线上，则q5=pm,因为p,g互素，所以p5,9m,于是ξ≥p,η≥q,从而(5，)在矩形Ⅱ外部.因此在Ⅱ的对角线OB上没有整

点.于是依引理1.1.1，△OAB内部的整点个数为

p-1)/2kq

因为△OCB与△OAB全等，所以△OCB内部的整点个数为

(g-1)/2lp

注意矩形Ⅱ内部的整点个数也等于

p-19-1

22

第1章n维点集

3

于是得到结论

例1.1.2设整数n≥1，则

用=2用]-v

k三1

证应用引理1.1.1的证明的思路.我们用不同方法计算满足xy≤n的正整数对(x,)的个数N

一方面，由xy≤n可知x,y∈{1,2，…，n}.不等式xy≤n等价于x≤n/y.当y=k(1≤k≤n)时，x取[n/k]个正整数值，所以得到[n/组正整数解(x,y),因此

(1)

另一方面，换一种算法，曲线xy=n被点（√元，√冗）分为两部分.当1≤x≤√元时得到满足xy≤n的正整数解(x,)的组数等于

(2)

x=1

当1≤y≤√元时得到满足xy≤n的正整数解(x,y)的组数等于

(3)

式(2)和式(3)显然相等，但都将以(1,1)，(1，√冗)，（√元，√冗），（√元，1）为顶点的正方形（包括边界）中的整点算入，它们总共有[风个，所以

[v

N=2∑[R]-v

(4)

k

由式(1)和式(4)立得所要证的等式.

引理1.1.2在2维平面上，若直线y=kx的斜率是无理数，则对于任何e>0,该直线两边总存在整点与该直线的距离小于e.

证直线方程是(：y=kx,其中k是无理数.显然任何整点都不可能在1上设(q,p)是任意整点，则它与1的距离

d=kq-pl

W1+k2>0.

由注3.4.1的2°知，存在无穷多组整数(p,q)(q>0)满足

网-川≤号

数的几何引论

对于给定的e>0,存在(p,q)(g>0)满足上述不等式并且q>1/e√/1+2，于是整点±(q,p)与l的距离d

口

设O(0,0)是坐标原点，A(飞，)是一个（平面）整点，如果线段OA内部没有

任何整点，则称A是（关于点O的）可见点，不然称A是隐藏点

引理1.1.3（平面）整点A(,)是可见点，当且仅当，)互素

证我们不妨考虑第一象限.若整点A(5,n)的坐标不互素，即k=gcd(ξ，)>1,则可设=ka,n=kb,其中a,b∈N.于是a<,b<7,a/b=/m,这表明点(a,b)

在线段OA上，从而A(5,)是隐藏点.因此，若A(E,)是可见点，则ξ，7互素

反之，我们来证明：若，7互素，则A(5,)是可见点.用反证法.设点A(传，)

是隐藏点，那么在线段OA上必然有一个可见点（α，b).于是依刚才所证，a,b互素.又由相似三角形性质可知

(5)

并且

0

(6)

由bE=an以及a,b互素推出aξ，bn.于是有=aa,n=bb,其中a>1,b>1是正整数，从而由式(5)得到

aξaa

6=7=

因此a=.进而由=aa',n=bb及a,b互素推出gcd(5,n)=a>1.我们得到矛盾

或者：由a,b互素可知，存在整数m,n满足

am+bn 1.

(7)

由式(5)解出a=b/m,代入式(7)得到

b(ξm+m)=n:

(8)

类似地得到

a(ξm+mm)=ξ.

(9)

因为5，n互素，所以由式(8)和式(9)可知m+m=1,从而=a,n=b.这与式(6)矛盾

▣

注1.1.1关于2维平面中整点与任意闭曲线之间的关系，有一些有趣的结果.例如，如果C是长度为l的封闭不自交的曲线，它所围的区域R的面积为

A,R内部的整点个数为M,以这些整点为顶点形成的完全被C包围的单位正方

形的个数为N,那么：

···试读结束···