《维变 连续阶次微积分》饶钢著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《维变 连续阶次微积分》

【作　者】饶钢著

【页 数】 217

【出版社】 北京：中国农业大学出版社 , 2006.04

【ISBN号】7-81066-351-8

【分 类】微积分

【参考文献】 饶钢著. 维变 连续阶次微积分. 北京：中国农业大学出版社, 2006.04.

图书目录：

《维变 连续阶次微积分》内容提要：

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《维变 连续阶次微积分》内容试读

第一章微积分的概念与发展

新的发现之前是发现了新的问题

1.1微积分的两个重要概念邻域性与无穷大量的同阶可比性

在牛顿提出较明确的微积分概念之前，有关的研究主要是讨论如何作某

特定曲线的切线和求这些曲线与X轴围成的面积，其做法侧重于使用几何和求

解方程的重根的方法，如先确定曲线基线上的一点，再由这一点向曲线引切线；对求曲线下的面积，牛顿从沃利斯(John Wallis)的书中得到最直接的帮助，那时

已知道x曲线下的面积为×+；牛顿最开始对曲线下的面积的求法便是由

单项的x幂函数，如x,x2,x3,…组合，并用已知曲线函数的内插函数项去求对应函数曲线下的面积.由于牛顿对内插函数项的仔细研究，在他建立微积分概念的后期，发现了二项式定理，并为以后的级数展开奠定了基础：

具有创造性的思想来自于牛顿.他将前人（巴罗(Issac Barrow)、沃利斯等）的无穷小量方法与求曲线下面积的方法相结合.定义函数和自变量为“流数”y和,并将微变量8和x8称为“瞬”，他首先得到了由他称之“流数术”的方法所能

推导出曲线下面积n十x和曲线x的对应关系，在当时，虽然对瞬奶和x8中

的8讨论了许久，但牛顿依然很有把握地得到了曲线的切线和面积的求解方法，

从牛顿具有创造性的发现中能得到的启发是：如果只注意曲线与曲线下的面积的关系，并不能领会这个发现的根本所在；当沿着牛顿的推导过程，可以发现，牛顿将（曲）线与面（积）联系起来时用到了“瞬”6和x6一这些既不像自变量点（坐标）又不像线（函数值）的东西（在第三章中，以数量的维数讨论有关的性质)；简言之，在将点（或线）变成线（或面）时牛顿使用了点（或线）的邻域一它是我们将点（或线）变成线（或面）的必经之路.所以在此可以看出：微积分的一个重要性质就是自变量和函数的邻域将被考虑进这一运算的过程之中

从数学的定义上讲，函数表现为点对点的映射，即：f：x一y或y=f(x).其

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维变一一连续阶次微积分

中x与y都是一些点的集合，如y=x2表示给定边长为x的正方形面积为y,但它们都没有邻域的概念，只表示边长与面积的最终结果；而对微积分而言，其“函数”的映射要复杂一点，这一过程将考虑自变量x及其邻域x十△x(邻域概念是

一个区间的概念，x的邻域是指以x为中心，以e>0为半径的一维区间；在此为[x,x+△x]区间内的所有值)和函数f(x)及其邻域值f(x+△x)对新函数值的作用.设微积分函数映射g：f,x,2一→z,2为所考虑的自变量x的邻域（或区间，一般对函数的邻域与自变量x的邻域应分别对待)，之为映射值.莱布尼兹同样对微积分有独到的理解，同牛顿一样在提出微积分概念的过程中，使用了无穷小量，也有过反复.但他突出的作用是将发现的和已有的微积分思想不断地提炼和使用更为有效和明显的方法描述微积分过程.正是莱布尼兹提出使用dx

表示的积分过程和使用器（即牛顿使用的流数比岩）表示求导过程，这些做法无dx

疑是对微积分思想的形成起到了强有力的推动作用；他所采用的符号，能使初次接触微积分的人快速掌握微积分的内在含义和核心所在.如果不是这样，我们如使用牛顿的流数符号进行运算，首先会感到十分麻烦，其次可能总停留在一些枝节问题上而进展缓慢，

从莱布尼兹的符号和思想中，我

f (x)

f(x)

们能得到重要的两点：①积分与积分区间（邻域的扩大）有关；②无论积分还是求导，微积分将导致无穷（大、小）量的同阶可比性.虽然牛顿的做法也

y十△y

是如此，但莱布尼兹的表达形式更为

y。

直观和简明，如莱布尼兹的积分符号f(x)dx,可以理解为由函数微分求

和构成的无穷大量∫(x)和由立构

x,十△x

成的无穷大量的比（趋于有限的值）.

图1-1求导与邻域的关系

而求导器表示为同阶的无穷小的比

(趋于有限值)：当这些比值为0或无穷大时，其结果说明所讨论函数在特定点及邻域上，dy和dx具有不同阶无穷小（大）量的性质；在无穷量的比较上表现为不同阶无穷大（小）量的比较.在这些极限的比值中一般由函数值构成的极限量（如

第一章微积分的概念与发展

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△y和∑f(x十i△x)是受控于自变量的极限量△x→0的；由函数组成的极限量会有不同的形式，但对于微积分来说，这种组成会有固定的结构

所以现在可以勾画出微积分的大致概念，即对于一个确定的函数关系∫：x+y,微积分是研究自变量x及函数f(x)在其邻域及区间上的一系列值是如何对新的映射变量ga(x)产生作用的方法；受控于自变量的极限量△x且由函数组成的极限量可以是无穷大（小）量，在一个自变量邻域或区间上的点也可以是无穷多个，这时构成函数极限量的点数也是无穷多个，如果ga(x)存在，那么以上的函数极限量与自变量极限量△x→0将存在可比性·

如“求导”过程（微分方向），选择自变量x=x。和x十△x,分别对应函数f(x)和f(x+△x),由此组成一阶无穷小量△y=f(xo+△x)一f(xo),△y受控于△x,然后记f'(x)为f(x)在x=xo处的“导数”.

f(o)=ga(o)=lim Ay=limf(xo+Az)-f(zo)

(1-1)

△r-0△x△x+0

△x

它的实际意义就是求函数f(x)在x=x。处的切线斜率，由此可得切线方程：y(x)=f(xo)(x-x。)十f(xo).以上过程完成了由函数f(x)构成的△y及其(自变量邻域增量)△x的比值向ga(xo)=f(x)的映射.在此邻域((xa,x,十△x),…)在运算过程中由于趋于0而被忽略。

新得到的ga（xo)=f(x)是一个

点对点的映射函数，但可以说如果一

f(x)

个点对点的函数映射f(x)不存在某自变量点的邻域值（邻域包括自变量的邻域和函数的邻域)，那么新的“求导”映射ga(x)在这点上将不存在常规意义下的确定值（一般认为函数f(x)在这些点上的导数不存在).

当我们用微积分的函数在自变量相应邻域上的值产生新变量和使用同阶无穷（大）量的同阶可比性用于对

a x

“积分”的分析时，这些概念会显得更为明显.如求图1-2中曲线下的面积

图1-2函数f(x)与其下的面积S(x)

S.曲线下的面积可由曲线下的许多小

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维变一一连续阶次微积分

第三章的内容).勒贝格积分记为

fdm=lim∑ym(f1(y,)

(1-4)

n+0=1

D为自变量区间上的集合，上式还要求sup:{△y:}+0,

勒贝格积分的出发点是将函数及自变量区间先看成是一些集合，而实质上要完成积分就必须研究这些集合的几何长度.从而产生了集合的测度论.勒贝格测度就是集合的一维长度.如求一曲线下的面积依然是以函数值作为高，x轴上的集合测度作为底边长；将两个一维量的乘积作为“面积”.所以勒贝格积分依然没有摆脱微积分的几何含义.当考虑到不同维数的测度时，Hausdorff测度将具有更为普遍的意义.在本书的第三章将谈到有关的概念

1.3微积分的可逆性与不可逆性

求导和求积分是互逆的.如上例中，将面积S(x)函数以图1-2的形式表示出来，令△S=S(xm）一S(xm一△xm)在△xm→0的极限意义下等于f(xm)△xm=

△S,所以

f(xm)=lim-△S

△zn0△Tm

lim

S(xm)-S(xm-△xm）=S'(xm）(1-5)

△xm+0

△xm

牛顿在仔细分析由他老师巴罗和前辈约翰·沃利斯(1656)得到的一些曲线下的面积表示后，摸索到二项式展开的方法，虽然他并没有特别渲染这一发现，可后人，称其为二项式定理，发现者应数牛顿.二项式展开被牛顿用于求开平方(或开立方等)的根，但应看到，微积分的发展同函数的级数展开的方法关系密切.所以，当牛顿掌握了这一工具后，得出了一系列的函数曲线下面积的结果，这令当时的同行们吃惊，莱布尼兹就曾经表示十分钦佩牛顿所具有的技巧和结果。

使用二项式展开方法，牛顿将“流数术”的瞬z代入n十(x十z0)+1的展开式，迅速得到十的导数为x,从面确立了求曲线下面积和求曲线切线斜

率的互逆关系.即

···试读结束···