《有限单元法》汪利，刘祚秋，吕中荣编著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《有限单元法》

【作　者】汪利，刘祚秋，吕中荣编著

【页 数】 232

【出版社】 广州：广州中山大学出版社 , 2022.07

【ISBN号】978-7-306-07441-6

【价 格】48.00

【分 类】有限元法

【参考文献】 汪利，刘祚秋，吕中荣编著. 有限单元法. 广州：广州中山大学出版社, 2022.07.

图书封面：

图书目录：

《有限单元法》内容提要：

有限单元法起源于结构分析，并伴随着计算机的发展走向辉煌，现已成为航空航天、土木、机械等领域不可或缺的

《有限单元法》内容试读

第1章绪论

学习目标与要求

1.了解有限单元法的应用现状。

2.了解有限单元法的数学与力学背景。

3.了解有限单元法的特点。

1.1有限单元法的要点、特性及理论依据

有限单元法（或称为有限单元法）是利用计算机求解工程技术问题的数值分析方法。它的通用性和有效性使它在目前的工程分析中得到广泛应用，因而受到工程技术界的高度重视。伴随着计算机科学和技术的快速发展，有限单元法现已成为计算机辅助设

计(CAD)和计算机辅助创造(CAM)的重要组成部分。

1.1.1有限单元法的要点

在工程或物理问题的数学模型（基本变量、基本方程、求解域和边界条件等）确定以后，有限单元法作为其数值计算方法，要点可归纳如下：

(1)建立和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理（势能原理或虚位移原理)，确定可能位移需要满足的连续性条件和边界位移条件。

(2)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。

(3)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数由未知场函数（及其导数，根据连续性条件确定）在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式通常表示为矩阵形式）。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因此将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷多自由度问题就转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。

(4)将单元插值代入变分原理，组装建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组（对于动力问题则是常微分方程组）。此方程组称为有限元刚度方程，并表示成规范化的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。

·1·

有限单元法

1.1.2有限单元法的特性

从有限单元法的上述要点可以理解其所固有的以下特性：

(1)对于复杂几何构形的适应性。由于单元在空间可以是一维、二维或三维的，而且每一种单元可以有不同的形式，如三维单元可以是四面体、五面体或六面体，同时根据连续性条件，各种单元之间可以采用不同的联结方式，如两个面之间可以是场函数保持连续，也可以是场函数的导数保持连续，还可以仅是场函数的法向分量保持连续。这样一来，实际工程中遇到的非常复杂的结构或构造都可能离散为由单元组合体表示的有限元模型。

(2)对于各种物理问题的可应用性。用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并未限制场函数所满足的方程形式，也未限制各个单元所对应的方程必须是相同的形式，只需给出问题的变分原理描述便可进行分析。因此，尽管有限单元法开始是针对线弹性的应力分析问题而提出的，但很快就发展至弹塑性问题、黏弹塑性问题、动力问题、屈曲问题等，并进一步应用于流体力学问题、热传导问题等。此外，可以利用有限单元法对不同物理现象相互耦合的问题进行有效的分析。

(3)建立在严格理论基础上的可靠性。用于建立有限元方程的变分原理在数学上已被证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。若原问题的数学模型是正确的，且用来求解有限元方程的算法是稳定的、可靠的，则随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度数目的增加及插值函数阶次的提高，有限元解的近似程度将不断得到改进。若单元满足收敛准则，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解

(4)适合计算机实现的高效性。由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，因此方程的求解可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合程序化和计算机执行。随着计算机软硬件技术的高速发展，以及新的数值计算方法的不断出现，大型复杂问题的有限元分析已成为工程技术领域的常规工作。

1.1.3线弹性小变形问题有限单元法的理论依据

线弹性小变形问题的有限单元法基于等价于平衡微分方程和应力边界条件的最小势能原理，它的数学表达式为

n-。er[Ded-。"fao-w·fds

(1.1)

其中，Ⅱ表示势能，{e}=[exe,e:Yy In Ya]T表示应变，u,f,了分别表示位移、体力和面力。最小势能对应势能变分等于0，即

6Ⅱ=0

(1.2)

由以上表达式可以看出，以位移“作为基本未知量，由小变形的几何方程消去应变{}，从而使势能泛函Ⅱ的变分仅对自变量函数位移进行。如果位移未知量的个数是有限的，取结点位移作为基本未知量便可实现，那么根据变分方程就可以求得这些未知量。

·2

第1章绪论

1.2有限单元法的发展历史、现状和未来

1.2.1有限单元法的早期工作

有限单元法起源于市政工程和航空工程方面对解决复杂的弹性结构分析问题的需要。从应用数学的角度考虑)，有限单元法的基本思想可以追溯到Courant在1943年的工作。他首先尝试把在一系列三角形区域上定义的分片连续函数和最小位能原理相结合，借此来求解St.Venant扭转问题。此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限单元法的离散理论、方法及应用进行研究。有限单元法的实际应用是随着电子计算机的出现而开始的。首先是Turner、.Clough等人于1956年将刚架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题，并用于飞机结构的分析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特性矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性力学问题的新阶段。1960年，Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法”的名称，使人们更清楚地认识到有限单元法的特点和功效。

1.2.2有限单元法的发展和现状

60多年来，伴随着电子计算机科学和技术的快速发展，有限单元法作为工程分析的有效方法，在理论方法的研究、计算机程序的开发及应用领域的开拓等方面均取得了根本性的发展。这里仅就其中发展比较成熟，并已广泛应用于实际分析的主要方面进行简要的介绍。

(1)单元的类型和形式。为了扩大有限单元法的应用领域，新的单元类型和形式不断涌现。例如，等参元采用和位移插值相同的表示方法，将边界为曲线（二维）或曲面(三维)的形状不规则单元变换为矩形或正方形的规则单元，从而可以更精确地对形状复杂的求解域（或结构）进行有限元离散，并简化计算。再如，在结构结点参数中同时包含有位移和位移导数的梁、板、壳单元，以满足分析工程实际问题中大量遇到的该类结构的需要。构造以多个场变量（如位移、应变、应力）为结点参数的混合型单元，以克服分析不可压缩介质及板壳分析中遇到的数值上的困难。构造由多种材料构成的复合单元，用来分析复合材料、夹层材料、混凝土等组成的结构。

(2)有限单元法的理论基础和离散格式。在提出新的单元类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用提供可靠的理论基础，研究工作的进展包括：将Hellinger-Reissner原理、Hu-Washizu原理等多场变量的变分原理用于有限元分析，发展了混合型（单元内包括多个场变量）、杂交型（某些场变量仅在单元交界面定义)的有限元表达格式，并研究了各自的收敛性条件；将与微分方程等效的积分形式一变分原理用于建立有限元的表达格式，从而将有限元的应用扩展到不存在泛函或泛函尚

·3。

有限单元法

未建立的物理问题；发展了有限元解的后验误差估计和应力超收敛恢复方法，不仅改进了有限元解的精度，更重要的是为发展满足规定精度的要求、以细分单元网格或提高插值函数阶次为手段的自适应分析方法提供了基础。

(3)有限元方程的解法。现在用于大型复杂工程问题的有限元分析，自由度达几十万个甚至上百万个已是比较常见，这与计算机软、硬件发展相配合的大型方程组解法的研究进展密不可分。有限元求解的问题从性质上可以归结为以下三类

一是独立于时间的平衡问题（或稳态问题）。这最后归结为求解系数矩阵元素稀疏分布的线性代数方程组。对于常见的结构应力分析问题，求解的是对应给定载荷的结构位移和应力。此类问题至今主要采用直接解法，先后发展了循序消去法、三角分解法波前法等。近年来，为了适应求解大型、特大型方程时减少计算机存储和提高计算速度的需要，迭代解法，特别是预处理共轭梯度法，受到了更多的重视，并已成功地应用。

二是特征值问题。这也是稳态问题，但是求解的是齐次方程，解答的是使方程存在非零解的特征值和与之对应的特征模态。在实际应用中，它们代表的可能是振动的固有频率和振型，或是结构屈曲的临界载荷和屈曲模态等。针对大型矩阵特征值的求解问题，先后发展了幂迭代法、同步迭代法、子空间迭代法等。10多年来，Rtz向量直接叠加法和Laczos向量直接叠加法由于具有更高的计算效率而受到广泛的重视并得到应用。

三是依赖于时间的瞬态问题。由于这类问题的方程是结点自由度对于时间的一阶、

二阶导数的常微分方程组，求解的是在随时间变化的载荷作用下的结构内位移和应力的动态响应，或是波动在介质中的传播、反射等，因此此类问题的求解主要采用对常微分方程组直接进行数值积分的时间逐步积分法。依据代数方程组是否需要联立求解，可区分为时间步长只受求解精度限制的隐式算法（以Newmark法为代表），以及时间步长受算法稳定限制的显式算法（以中心差分法为代表）。为了有效地求解不同刚度的介质材料或单元尺寸在同一问题中耦合作用所形成的方程，常采用隐式一显式相结合的算法。还需指出的是，动力子结构法（又称为模态综合法）是动力分析中经常采用的非常有效的方法。它先求解各子系统的特征值问题，然后只取其对结构响应起主要作用的振动模态进入结构的总体响应分析，从而可以大幅度缩减总体分析的自由度和计算工作量。

上述三类问题，从方程自身性质考虑，还存在对应的非线性情况。非线性可以是由材料性质、变形状态和边界接触条件引起的，分别称为材料、集合、边界非线性。求解非线性有限元问题的算法研究主要有四种。

是采用Newton-Raphson方法或修正Newton-Raphson方法等将非线性方程转化为一系列线性方程进行迭代求解，并结合加速方法提高迭代收敛的速度

二是采用预测一校正法或广义中心法等对材料非线性本构方程进行积分，决定加载过程中材料的应力、应变的演化过程。

三是采用广义弧长法等时间步长控制方法和临界点搜索、识别方法，对非线性载荷一位移的全路径进行追踪

四是采用拉格朗日(Lagrange)乘子法、罚函数法或直接引入法，将接触面条件引

第1章绪论

入泛函，求解接触和碰撞问题。

最后应指出的是，由于有限单元法解题的规模越来越大，因此，为了缩短解题的周期，基于并行计算机和并行计算软件系统的有限元并行算法近年来得到很大的发展。

(4)有限单元法的计算机软件。由于有限单元法是通过计算机实现的，因此它的软件研发工作一直是和它的理论、单元形式和算法的研究及计算环境的演变平行发展的。20世纪50年代以来，软件的发展按目的和用途可以区分如下：

一是专用软件。在有限元发展的早期(20世纪50一60年代)，专用软件是为一定结构类型的应力分析（如平面问题、轴对称问题、板壳问题）而编制的程序。而后，专用软件更多的是为研究和发展新的离散方案、单元形式、材料模型、算法方案、结构失效评定和优化等而编制的程序。

二是大型通用商业软件。从20世纪70年代开始，基于有限单元法的结构线性分析已经成熟并被工程界广泛采用，一批由专业软件公司研制的大型通用商业软件（如

NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX)公开发行和被应

用。它包含众多的单元型式、材料模型及分析功能，并具有网格自动划分、结果分析和显示等前后处理功能。近50年来，大型通用软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构（如流体、热、电磁等），由分析计算扩展到优化设计、完整性评估，并引入基于计算机技术发展的面向对象技术、并行计算和可视化技术等。现在大型通用软

件已为工程技术广泛应用，并成为CAD/CAM系统不可缺少的组成部分。

1.2.3有限单元法的未来

经过近60年特别是近30年的发展，有限单元法的基础理论和方法已经比较成熟，已成为当今工程技术领域中应用最为广泛、成效最为显著的数值分析方法。但是，面对21世纪全球经济和科技领域的激烈竞争，基础产业（如汽车、船舶和飞机等）的产品设计和制造需要引入重大的技术创新，高新技术产业（如宇宙飞船、空间站、微机电系统和纳米器件等)更需要发展新的设计理论和制造方法。而这一切都为以有限单元法为代表的计算力学提供了广阔驰骋的天地，并提出了一系列新的课题。

(1)为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元形式。例如，对应特征合金、复合材料、陶瓷材料、机敏材料、智能材料、生物材料以及纳米材料等，建立能真实描述它们各自的力学、物理性质和特征行为，且适合数值计算的本构模型和相应的单元形式，以及优化设计材料性能的计算方法。这方面现在是，未来仍将继续是一个重要的研究课题，因为这是计算分析和优化它们自身性能及由它们所组成的结构在不同环境中响应分析的前提。

(2)为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载荷工况和环境作用下全寿命过程的响应，需要发展新的数值分析方案。常见的应用情况如下：

1)高温结构在随时间变化的载荷和环境的作用下，从损伤的孕育、萌生到其成长、集聚、扩展，直到最后失效和破坏的全寿命过程的数值模拟。其中包括损伤和应力及环境的相互作用，不同性质和形式的损伤彼此之间的相互作用。

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有限单元法

2)汽车在碰撞或重物压击作用下，失稳、过屈曲直至压溃或破裂全过程的数值模拟。从失稳到破坏可能在很短的时间内发生，其中还涉及变形过程和材料性能以及载荷的相互作用

3)其他更为复杂的情况，如空间飞行运载系统和推进系统在飞行状态下响应的模拟，核反应堆在事故工况下响应的模拟等。这将涉及材料、结构和流体动力、传热燃烧、化学作用、核裂变和辐射等多种作用的相互耦合。

为实现上述分析和模拟，需要研究和发展以下数值方法：①多重非线性（材料、几何、边界等)相耦合的分析方法；②多场（结构、流体、热、电、化学）耦合作用的分析方法；③跨时间/空间多尺度的分析方法；④非确定性（随机或模糊）的分析方法；

⑤分析结果评估和自适应的分析方法。

(3)有限元软件和CAD、CAM、CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展

(VPD)系统。这是从1990年开始的技术方向。VPD系统是计算力学、计算数学以及

相关的计算物理、计算工程科学和现代计算机科学技术、信息技术(IT)、知识工程

(KBE)相结合而形成的集成化、网络化和智能化的信息处理系统，其可通过网络将科

学家、设计工程师、制造商、供应商及有关咨询顾问连结起来协同工作。它强烈地影响着未来工程系统的设计、制造和运行，主要表现在三个方面：

一是它能提供对所设计的工程系统从加工制造到运行，直到失效和破坏的全寿命过程的更深入认识，从而能更好地识别它的属性和特征。

二是它能够鉴定和评估所设计对象的性能和质量，并允许以最低的费用在设计过程中就对所设计的对象进行修改和优化。

三是它能显著地缩短工程对象设计和投产的周期，降低生产成本，提高市场竞争力。

习题1

1.在有限单元法中，“离散”是什么意思？

2.写出材料力学中受弯梁的应变能表达式。

3.写出弹性力学的基本方程。

4.写出散度定理的表达式。

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···试读结束···