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音乐如何运作：从毕达哥拉斯到勋伯格，音乐与数学之间的爱恨交织作者 Ali Maor，前芝加哥洛约拉大学他是一所大学的数学史教授-著名科普作家，博士。来自以色列理工学院。在各国知名学术刊物上发表了大量研究论文，涵盖数学史、应用数学和数学教育等不同领域。

简介

音乐充满了数学元素。例如，巴赫的作品被认为包含了一种数理逻辑。伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基曾说过：“音乐是一种形式和数学更接近——也许与数学本身无关，但肯定与数学思维和关系表达式有关。”在此基础上，阿诺德勋伯格更进一步，根据数学原理创作了作品。

作者 Ali Maor 对此有所保留。在他看来，音乐对数学的影响不亚于数学对音乐的影响。在本书中，作者试图从历史的角度审视音乐与数学之间的密切关系。有趣的人物轶事与缜密严谨的音乐理论和数学知识交织在一起，引导读者以全新的视角进入音乐和数学这两个熟悉和陌生的领域，纵观音乐和数学数千年的发展历程。

编辑推荐

音乐是许多数学家的灵感来源

数学也深刻影响着音乐的技术方面

但并非所有数学家都了解音乐之美

并非所有音乐家都了解音乐背后的数学原理

打破学科壁垒，跨越认知界限

在历史与人情的脉络下，洞察数学与音乐、科学与艺术的复杂互动

书籍内容

前言……………………………………………………我

第一章前言：危机中的世界…………………………1

第 2 章弦论，公元前 500 年………………………… 15

Additional Part A 此处仅提及术语…………………………………………25

第三章启蒙运动…………………………………………29

第 4 章关于弦乐的大争论，1730-1780……………………45

Extra B：聪明的幽灵………………………………………………61

第5章最珍贵的礼物…………………………………………65

第6章音韵学……………………………………………………83

C 外：值得记录的音乐………………………… 91

第 7 章音乐小玩意：音叉和节拍器………………………… 97

第 8 章节奏、速度和节拍………………………………………… 107

第9章参考系：我在哪里……………………………………117

Extras D 音乐结构系统…………………………………… 135

第10章相对论的音乐…………………………………………139

第11章后果………………………………………………151

额外的E伯努利…………………………………………161

第12章最后的毕达哥拉斯…………………………167

参考书目……………………………………………………171

插图版权……………………………………………………174

索引…………………………………………………………177

本书前言

我在一个热爱欧洲文化——文学、艺术和音乐的家庭中长大。我的父母都没有受过音乐训练，但我的母亲是一位艺术家，她非常喜欢莫扎特。每当她坐在桌边画那些美丽的花朵时，她总会把收音机调到古典音乐频道。因此，莫扎特和他的音乐，以及我母亲告诉我的许多关于他的故事，都成为了我童年的一部分。有一天，她带我去看了一部关于莫扎特生平的电影。那时，彼得·沙弗的虚构作品“艾玛迪斯”登上头条还需要几十年的时间。我记得看到莫扎特临终时，在病床上向他的弟子苏斯迈尔口述未完成的安魂曲，我不禁想知道他一生都做了些什么。这最后一幕让我热泪盈眶。

然而，实际上是我的外祖父保持了我对科学和音乐的终生热爱。 1938 年，由于在纳粹严酷的统治下犹太人的生活难以为继，他和我的祖母离开德国前往以色列（然后是巴勒斯坦）。当我大约五岁时，我有一张他的照片（参见带有奉献精神的页面），他正在为我拉小提琴。在这张由妈妈拍摄的照片的背面，她写下了我爷爷为我演奏的歌曲的名字——“Guter Mond, du gehst so Stille”（古特蒙德，du gehst so Stille），这是一首传统的德国摇篮曲.那是我人生中的第一次现场演出，时至今日，昔日的情景还历历在目。直到有一天我的祖父告诉我他必须和小提琴说再见——他迫切需要钱。刹那间，我泪流满面。

另外，我有一本我祖父在中学（高中）学习时使用的物理书。这本书出版于 1897 年，附有数百幅精美插图；更重要的是，它报道了物理学的最新进展，包括 X 射线（当时称为“伦琴射线”）及其对医学的潜在益处。他一定非常仔细地研究了这本书，因为几乎每一页都有他的手写笔记。我们会坐了几个小时，他向我解释了各种各样的事情，这是我最早的科学启蒙。我仍然把这本书当作宝藏（见图 P.1）。

在 1940 年代，战争的阴云笼罩着世界，但我的父母仍然偶尔在特拉维夫的家中演奏古典音乐来招待客人。他们使用机械转盘或留声机以 78 rpm 的速度播放黑胶唱片。我多么喜欢这些时光！留声机不得不使用更大的曲柄，俗称“manuela”，需要用手曲柄才能让留声机旋转大约 10 分钟，刚好足够完成唱片的两边。如果你不及时上弦，转盘就会变慢，音乐也会变慢，音调也会变低。一首 40 分钟的贝多芬交响曲需要五六张这样的唱片，这些唱片通常存储在看起来像老式专辑（专辑，现在通常用于指代歌曲专辑）中。这个词可能来自这张老式专辑）。每张专辑都像一本千页的微积分教科书！记住，记住！切勿让唱片从剪辑中滑出，它会掉在地板上。但是，在播放唱片时，最需要注意的是针。唱针每播放十几个小时就要更换一次，否则会变钝，损坏唱片的音槽。手写笔由铬制成，在战争期间，铬的供应受到严格限制。不过好在很快，一个替代品——木制手写笔出​​现了！不用说（这里没有双关语），木制唱针发出异常嘶哑的声音，但正是这种声音激发了我对古典音乐的兴趣。

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“每个聪明的音乐家都应该熟悉其艺术背后的物理定律。”克拉伦斯 G. 汉密尔顿在他 1912 年引人入胜的小册子“声音及其与音乐的关系”中。如果我们可以暂时忽略他言论中略显夸张的成分（请注意，虽然他只谈到男性音乐家，但确实符合当时的社会规范），确实很少有古典作曲家从事数学工作或职业生涯中的物理学。在少数人中，有两个名字脱颖而出：一个是让-菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683-1764 年），他撰写了一部广为流传的声学论文；另一位是 Giuseppe Tartini (1692-1770)，他发现了现在所谓的组合音（见第 5 章）。我们这个时代也发生了一些变化，几位作曲家的音乐基于数学定律，都取得了不同程度的成功。其中最出色的是勋伯格，他的系列作品将在第 9 章和第 10 章详细介绍。此外，我想提一下 Iannis Xenakis (1922-2001) 和 Karlheinz Stockhausen (Karlheinz Stockhausen, 1928-2007)。前者在转向音乐之前接受过土木工程师和建筑师的培训，他在音乐中使用随机原则；总的来说，他的乐谱充满了扭曲的数字和线条，而不是传统乐谱的音符和五线谱。他们的作品第一次受到前卫观众的热烈欢迎。然而，这些作品是否会被古典音乐的主流所接受，还有待观察。

数学和音乐，这两个领域有很多相似之处，但彼此之间保持着一定的距离。这本书讲述了这种相互关系的故事。这绝不是一本试图对这个主题进行全面历史回顾的书，也不是一本关于音乐的数学物理教程，其中已经有很多优秀的例子。相反，我想做的只是从历史的角度来看音乐和数学之间的亲密关系，看看实际发生的事情，以及故事背后的人——科学家、发明家、作曲家，以及偶尔出现的怪物。我并不羞于表达我的观点，尽管有些读者可能会反对某些问题，例如通常与音调设置相关的情感属性。在我看来，他们有些夸大了。本书适用于对数学、音乐和科学感兴趣的普通读者，除了高中代数和三角学之外没有任何数学要求。但是，如果读者有基本的乐谱知识，阅读起来会更容易。

然而，归根结底，应该指出的是，所有将数学与音乐联系起来的尝试在本质上都是有限的，因为这两个领域的目标是矛盾的：数学和更普遍的科学，其目标是关于激发我们的智力和以客观、合乎逻辑的方式分析抽象模式和关系的能力；另一方面，音乐试图触动我们的心灵，唤醒我们对声音、节奏、时间和听觉模式的情感反应。在这里，让我们借用亚利桑那州凤凰城乐器博物馆 (MIM) 的一句欢迎语：“音乐是灵魂的语言。”

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任何像这样的跨学科话题的讨论都不可避免地涉及几个相邻的领域。不言而喻，物理定律在音乐和天文学中都发挥着作用——从毕达哥拉斯相信行星的轨道受音乐和谐定律支配，到 19 世纪后期发现共振存在在行星和它们的卫星的轨道之间，这种共振通常具有通常的音程比（见第 12 章）。我们还可能会提到最近在星系之间的广阔空间中检测到的具有特定波长和音高的声波（见附录 C），这可能反映了像宇宙音乐（音乐）这样的古老寓言。球体）。

无论如何，在数学和物理科学之间，甚至在数学和人文科学之间，我们今天划出的硬界限并不是我们前人的普遍做法。事实上，直到 19 世纪初，古典科学界的大多数伟人都认为自己是数学家，同时也是哲学家、物理学家和自然科学家。他们擅长各种学科，他们同意这些学科可以帮助理解自然的运作方式。在这个选定的科目列表中，当然也包括音乐。

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参考书目注意事项：为避免重复，正文中仅提及作者姓名和书名，并出现在参考书目中。我几乎不需要特别解释，所有与音乐相关的术语，以及许多作曲家的生活等价内容，都在 29 卷的《新格罗夫音乐和音乐家词典》中。 ) [Macmillan 于 2001 年出版，可在 www.oxfordmusiconline.com 在线获取] 有据可查。在苏格兰圣安德鲁斯大学数学与计算科学学院的网站上（www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.html），可以找到许多数学家的优秀传记成立。