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编者评论：关于应用数理统计的课后问题解答

应用数理统计 本书系统地介绍了数理统计的基本概念、原理和方法。全书共分6章，包括数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析和正交实验设计等。今天，小编为大家带来本书课后习题的答案。欢迎下载学习

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简介

本书系统地介绍了数理统计的基本概念、原理和方法。全书共分6章，涵盖数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析和正交实验设计，

统计决策理论和贝叶斯推理的回归分析和基础知识。每章都配有相应的习题。

本书适合高等院校工、经、管类研究生的教材，理科高年级本科生的教材。

数理统计知识点总结

大数定律

假设每次独立重复一次实验（如掷骰子），当试验次数足够大时，每个子事件的频率将无限接近其概率（如掷 100,000 个骰子，则你抛出的 1 的数量估计在 16,666 左右）。大数定律证明了这一现象的客观现实。

以下是两个大数定律。

大数的弱定理（Khinchin）：

令[公式]为相互独立且服从相同分布且具有数学期望[公式]的随机变量序列，作为前n个变量的算术平均值[公式]，则为[公式]，有

[公式]

这个公式的字面意思很容易理解，就是当n为无穷大时，这个统计量（统计量的定义后面会提到）会无限接近[公式]。毕竟 [formula] 是 [formula] 的无偏估计（简单理解为具有无偏性，这就是为什么我们可以使用这个统计量来估计概率分布中的 [formula] 的原因。）。

如果这个解释没有意义，你可能想回顾一下limit的定义和mean的一些定义等。

我们给出一个证明，然后查看期望和方差函数。

等等！我们必须给出一个我们稍后会用到的引理，它本身也更重要。

[公式][公式][公式][公式][公式][公式][公式]

回到原来的证明。

首先，我们需要假设方差存在（统一证明方法需要使用特征函数法和泰勒公式（需要使用一些傅里叶分析）），设置 [公式] ，那么因为

[公式]

（使用的属性是[公式]）

所以我们结合切比雪夫不等式有

[公式]

所以我们只需要制作 [formula] ，就可以得到我们的结论（钳位定理），证明就完成了。

如果你对更统一的证明方法感兴趣，可以参考

大数定律

根据第一定理，可以得到以下推论

推论：伯努利大数定理：

令[公式]为事件A在n次独立重复试验中出现的次数，p为事件A在每次试验中发生的概率，则对于[公式]，有

[公式]

这里没有更多的证据。

中心极限定理

这个定理想告诉我们，大量独立随机因素综合作用形成的结果趋于近似服从正态分布。由于证明需要本征函数法，此处省略。

独立同分布的中心极限定理：

假设随机变量[公式]相互独立且服从均匀分布，有[公式]，则随机变量之和[公式]的标准化变量[公式]的分布函数[公式] ] 有

[公式]

(标准化：[公式]，如归一化后服从正态分布[公式]并服从[公式]的随机方差)

以下是推论

De Moivre-Laplace 定理：

假设随机变量[公式]服从参数为n的二项分布，p(0

[公式]

把二项分布的均值和方差联系起来，这个公式就不难理解了。

这方面的统一证明可以参考这个

中心极限定理

分位数和异常值

我们之前已经给大家讲过箱线图，这里再解释一下箱线图涉及的两个概念。

我们假设有一个样本[公式]，样本p分位数（0

至少 np 个观察值小于或等于 [公式]

至少 n(1-p) 个观测值大于或等于 [公式]

根据这个要求，我们在数学上规定

[公式]

例如，一个样本有 18 个元素，那么 [formula] 是第 4 个元素（因为 18*0.2=3.6，[3.6]+1=4），[formula] 是第 9 个和第 10 个元素的均值（又名中位数）。

所以箱线图的几个数据是 [公式] , [公式] , [公式]

异常值在箱线图中定义为小于 [formula] 且大于 [formula] 的数据，其中 [formula] 。它们在箱线图中标有特殊符号。

常用统计列表

我们首先给出统计的定义。

定义：令[formula]为总体X的样本，[formula]为[formula]的函数，若g不包含未知参数，则称为统计量。

下面列出了常见的统计数据

[公式]（样本均值）

[公式]（样本方差）

[公式]（样本标准差）

[公式]（k阶原点）

[公式]（k阶中心矩）

我们只需要替换对应的观察值[公式]就可以得到每个统计量对应的样本观察值的表达式，这里省略。

可能很多人会问为什么样本方差的分母是n-1，这好像和我们高中的方差不一样。这里主要考虑的是不偏不倚。

不偏不倚：

对于参数[公式]的估计量[公式]，如果满足条件[公式]，则称该估计是无偏的。

在工业上，我们可以理解为没有系统偏差。

那么对于样本方差，我们取均值来看看

[公式]

[公式]

（根据均值和方差的关系以及中心极限定理，有

[公式])

这就是样本方差的来源。

还有老师（比如我们萌萌总老师）会用自由度法来解释n-1分母的由来。反正关键是懂，懂就好。

三种抽样分布

我们在做统计推断的时候，不可避免的要用这些抽样统计来描述样本的分布。常见的抽样分布基于正态分布的样本。

卡方分布（[公式]）

定义：

令[公式]为总体N(0,1)中的一个样本，则称为统计量

[公式]

服从n自由度的[公式]分布（读作卡方分布），记为[公式]

这是卡方分布的密度函数图

我们给出了一系列没有证明的性质

可加性：如果[公式]和[公式]相互独立，则有[公式]

假设[公式]，那么[公式]

上[公式]分位数：对于给定的正数[公式]，[公式]，满足条件[公式]的点[公式]称为分布的上[公式]分位数。

Fisher：当 n 足够大时，有一个近似值 [formula]，其中 [formula] 是标准正态分布的上 [formula] 分位数。在实践中，一般在n>40时使用。

t 分布

定义：集合[公式]，与[公式]相互独立，则称其为随机变量

【公式】服从n自由度的t分布，也称为Student分布。

这个公式可以理解为：分子服从正态分布，分母服从标准化卡方分布。

我们也可以用同样的方法定义 t 分布的分位数。此处不再赘述

这是t分布的密度函数的图像

以下是它的主要属性：

[公式]

[公式]

[公式]

F分布

定义：

假设[公式]和[公式]相互独立，则称为随机变量

[公式]服从[公式]分布，自由度为[公式]，记为[公式]

这个公式相当于在t分布上又加了一步：分子是标准化的卡方分布，分母也是标准化的卡方分布。

下图是F分布

同理，我们可以定义 F 分布的分位数。

F分布的性质如下

[公式]

[公式]

总结

本节主要概述了统计的基础——大数定律和中心极限定理，以及一些基本概念，最后介绍了抽样统计和三大抽样分布。

其实三个抽样分布可以用R语言计算出对应的值，这也是后续抽样分布定理的基础，也是F，t检验的内容，等稍后介绍。

如何学好数理统计？

在我看来，要想学好数理统计，尤其是对于那些不是很高级的人，最重要的不是掌握一些定理的推导和证明，而是要理清统计和图形的概念出它在说什么。 ，先做这个，再讲后面的挖或者进阶。

上面提到的统计推断中的概念，往往乍一看会让人摸不着头脑，甚至是突如其来，但整理思路和理清思路后，你会觉得背景和框架都比较清晰，思路也比较直观.如果基本的数理统计教科书清楚地解释了这些概念，那么它们就很好。

对此，我认为已故陈希如院士为本科非数理统计专业的本科生写的《概率论与数理统计》（中国科技大学），东方的毛世松、程一鸣、蒲小龙中国师范大学《概率论与数理统计教程》老师为本科数学与统计学专业撰写的《概率论与数理统计教程》

（高等教育版）做得很好。前者不用多说，@卡卡目前票数最高的回答引用了陈院士的部分原话，确实是真心的。在这本教材的写作中，陈老师真的很注重用最直白甚至最日常的语言。解释统计概念和想法，

也要尽量兼顾广度和深度；后者的数理统计部分在很多统计概念的介绍和介绍中比较清晰，不突兀，不含糊，概率论部分感觉写的不如数理统计部分好，但基本内容都涵盖了。