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八商数学·知识点总结

【初二数学新课】八年级数学知识点总结

江苏教育版八年级数学第一卷

（义务教育教材）

知识点总结

第 1 章全等三角形

1、全等三角形的定义

1、全等三角形：

两个可以完全重合的三角形称为全等三角形。

2、了解：

(1)全等三角形的形状和大小完全一样，不分位置；

(2)一个三角形经过平移、折叠、旋转后得到的三角形仍与原三角形全等；

(3) 三角形的全等不会因为位置的变化而改变。

2、全等三角形的性质

1、全等三角形的对应边相等，对应的角也相等。

了解：

(1) 长边到长边，短边到短边；最大角到最大角，最小角到最小角；

(2)对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

2、全等三角形的周长和面积相等。

3、全等三角形对应边上的相应中线、角平分线和高程相等。

3、全等三角形的判断

1、边角边公理 (SAS) 两个边和它们的夹角对应相同的三角形是全等的。

2、角、边和角公理 (ASA) 两个具有两个角且它们的边对应于同一角的三角形全等。

3、推理 (AAS) 具有两个角且其中一个三角形的对边对应于同一角的两个三角形全等。

4、并列公理 (SSS) 三个边对应相同的两个三角形是全等的。

5、斜边和直角边公理（HL） 两个直角三角形的斜边和直角边对应相同。

4、证明两个三角形全等的基本思想

1、双方都知道：

(1)求第三边(SSS)；

(2)求夹角(SAS)；

(3) 查找是否存在直角 (HL)。

2、边和角是已知的：

(1) 寻找角点（AAS 或 ASA）；

(2) 找到剪辑边缘 (SAS)。

3、两个已知角度：

(1) 寻找边（ASA）；

(2) 寻找其他边 (AAS)。

第二章轴对称

1、轴对称图形

关于一个图形的对称性；轴对称是关于关于一条线对称的两个图形。

2、轴对称性

1、轴对称图形的对称轴是由任意一对对应点连接的线段的垂直平分线。

2、如果两个图形关于一条线对称，则对称轴是由任意一对对应点连接的线段的垂直平分线。

3、线段的垂直平分线

1、属性定理：线段垂直平分线上的一点到线段两个端点的距离相等。

2、判断定理：与线段两端点等距的点在线段的垂直平分线上。

3、延伸：三角形三个边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

角的平分线

1、属性定理：角平分线上的一点到角两边的距离相等。

2、判断定理：到角的两条边等距的点在角的角平分线上。

3、引申：三角形三个角的角平分线的交点到三个边的距离相等。

5、等腰三角形

1、性质定理：

(1) 等腰三角形的两个底角相等（等边到等角）。

(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线重合（三线合一）。

2、判断定理：

三角形两个等角的对边也相等。 （等角对等边）。

6、等边三角形

1、性质定理：

(1) 等边三角形的三个边相等。

(2) 等边三角形的三个内角都等于60°。

2、引申：等边三角形的每一边都可以利用三线合一的性质。

3、判断定理：

(1) 三边相等的三角形是等边三角形。

(2) 三角相等的三角形是等边三角形。

(3) 两个角为60°的三角形是等边三角形。

(4) 60°角的等腰三角形是等边三角形。

7、直角三角形推理

1、在直角三角形中，如果一个锐角是 30°，它所对的直角边等于斜边的一半。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

3、引申：直角三角形面积法常用来求斜边上的高。

第三章勾股定理

1、基本定义

1、钩子：直角三角形中较短的直角边

2、 Strand：直角三角形中较长的直角边

3、和弦：斜边

2、勾股定理

1、定理：

直角三角形的两个直角边a和b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2、

3、勾股定理的反定理

1、定理：

如果三角形a、b、c三边的长度与a2+b2=c2有关，则三角形为直角三角形。

3、毕达哥拉斯股数

1、定义：

三个满足 a2+b2=c2 的正整数称为毕达哥拉斯数。

2、常见的毕达哥拉斯数：

3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13、

4、简单使用

1、勾股定理——常用于求边长、周长、面积：

了解：

(1)求已知直角三角形两条边的第三条边，求周长和面积。

(2)用于证明线段的平方关系问题。

(3) 使用勾股定理，做一个长形式

线段。

2、勾股定理的逆定理——常用于确定三角形的形状：

了解：

(1) 确定最大边（可能设置为c）。

(2) 若c2=a2+b2，则△ABC是直角为∠C的三角形。

(3) 如果 a2+b2

(4) 如果a2+b2>c2，三角形是锐角三角形（其中c是最大边）。

(5) 难点：用勾股定理建立方程来解决问题。

第 4 章实数

一，平方根

1、定义：一般来说，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x称为a的平方根（或二次根）。

2、表示方法：记录一个正数a的平方根

，读作“正负平方根a”。

3、自然：

(1) 一个正数有两个相反的平方根。

(2) 零的平方根为零。

(3) 负数没有平方根。

二，平方根

1、定义：求数 a 的平方根的运算称为平方根。

3、算术平方根

1、定义：

一般来说，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x称为a的算术平方根。特别是0的算术平方根为0。

2、表示方式：

描述为，读作“root a”。

3、自然：

①一个正数只有一个算术平方根。

②零的算术平方根为零。

③负数没有算术平方根。

4、注意

双重非否定性：

4、立方根

1、定义：

一般来说，如果 x3=a 那么这个数 x 称为 a 的立方根（或立方根）。

2、表示方式：

描述，读作“三倍根a”。

3、自然：

(1) 一个正数有一个正立方根。

(2) 负数的立方根为负。

(3) 零的立方根为零。

4、注意：

，表示三重根中的减号可以移出根外。

5.

5、打开魔方

1、定义：

求数 a 的立方根的运算称为立方根。

6、实数的定义与分类

1、无理数：无限的非循环小数称为无理数。

理解：常见的有三种

(1)处方数不胜枚举：如

等等。

(2)具有特定含义的数字：如pi，或化简后包含pi的数字，如pi+8等。

(3)具有特定结构的数字：如0.1010010001...等； （注意省略号）。

2、实数：

有理数和无理数统称为实数。

3、实数分类：

(1) 根据定义

(2)按符号性质

7、实数比较法理解

1、正数大于零，负数小于零，正数大于所有负数。

2、数轴比较：数轴上两点所代表的数总是比左边的大。

3、绝对值比较法：两个负数，绝对值越大越小。

4、平面法：a和b是两个负实数，如果a2>b2，那么a

8、实数的运算

1、六种运算：加法、减法、乘法、除法、取幂和平方根。

2、实数运算顺序：

先计算幂和平方根，再计算乘除，最后计算加减。如果有括号，请先计算括号的内部。

3、实数运算法则：

加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律到加法。

九个，大概的数字

1、定义：

因为在实践中往往没有必要用一个精确的数字来描述一个量，甚至在更多的情况下不可能得到一个精确的数字来描述所研究的量，所以这样的数字被称为近似数。

2、取整方法：

一种近似值的方法——四舍五入。

X。科学记数法

1、定义：

将数字记录为科学记数法。

十1、实数和数轴

1、每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；相反，数轴上的每个点都代表一个实数。

2、实数与数轴上的点一一对应。

第五章平面笛卡尔坐标系

首先，在一个平面中，一般需要两个数据来确定一个物体的位置。

2、平面笛卡尔坐标系及相关概念

1、平面笛卡尔坐标系：

(1)定义：在平面内，相互垂直且有共同原点的两个数轴构成平面直角坐标系。

(2)坐标轴：其中，横数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；垂直数轴称为y轴或垂直轴，方向为正方向； x轴和y轴统称为Axis。

(3)原点：它们的共同原点O称为笛卡尔坐标系的原点。

(4)坐标平面：建立直角坐标系的平面称为坐标平面。

2、象限：

(1)定义：为了描述点在坐标平面中的位置，将坐标平面的x轴和y轴划分的四个部分称为第一象限，第二象限，第三象限，四象限。

(2) 注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点）不属于任何象限。

3、点坐标的概念：

(1)对于平面上的任意一点P，分别做一条通过点P的x轴和y轴的垂直线，数字a和b对应上x上的垂直脚-轴和y轴称为点P的横坐标，纵坐标、序数对(a,b)称为点P的坐标。

(2)点的坐标用(a,b)表示。顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有个“，”。横坐标和纵坐标的位置不能颠倒。

(3) 平面中点的坐标是有序的实数对。当a≠b时，(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

(4) 平面上的点与实数（坐标）的有序对之间存在一一对应关系。

4、不同位置点坐标特征：

(1)各象限点坐标特征：

①点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0；点 P(x,y) 位于第二象限：x<0,y>0。

②点P(x,y)在第三象限：x<0,y<0；点 P(x,y) 在第四象限：x>0,y<0。

(2)坐标轴上点的特征：

①点P(x,y)在x轴上：y=0，x为任意实数。

②点P(x,y)在y轴上：x=0，y为任意实数。

③点P(x,y)在x轴和y轴上：即原点坐标为(0, 0)。

(3)两坐标轴夹角平分线上各点坐标特征：

①点P(x,y)在第一象限和第三象限夹角的平分线上（直线y=x）：x和y相等。

②点P(x,y)在第二象限和第四象限夹角的平分线上（直线y=-x）：x和y互为相反数。

(4)平行于坐标轴的直线上的点坐标特性：

①平行于x轴的直线上各点的纵坐标相同。

②与y轴平行的直线上各点的横坐标相同。

(5)关于x轴、y轴或原点对称的点坐标特征：

①点P和点p'关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x轴的对称点-轴是P'（x，-y）。

2点P和点p'关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x,y)关于y轴的对称点y 轴是 P'(-x, y)。

③点P和点p'关于原点对称：横纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(- x，-y)。

(6)点P(x,y)到坐标轴和原点的距离：

①点P(x,y)到x轴的距离等于|y|。

②点P(x,y)到y轴的距离等于|x|。

③点P(x,y)到原点的距离等于

。

第 6 章主要功能

1、功能

一般来说，在某个变化过程中有两个变量x和y。如果给定一个x值，则相应地确定一个y值，那么我们称y为x的函数，其中x为自变量，y为因变量。

2、自变量取值范围

使函数有意义的参数值的总和称为参数的取值范围。一般从整数公式（取所有实数）、分数公式（分母不为0）、二次根公式（平方数为非​​负数）、实际意义等方面考虑。

函数的3、三种表示

1、关系（分析）方法：

两个变量之间的函数关系有时可以用一个包含两个变量和一个数值运算符的方程来表示。这种表示法称为关系（分析）方法。

2、列表方法：

将自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系。这种表示法称为列表方法。

3、图片方法：

用图表示函数关系的方法称为图法。

4、从函数关系中绘制其图像的一般步骤

1、列表：

List给出了参数和函数的一些对应值。

2、画点：

以表格中的每一对对应值作为坐标，在坐标平面上画出对应的点。

3、连接：

按照自变量从小到大的顺序，将绘制的点用平滑曲线连接起来。

5、比例函数和线性函数的概念和性质

1、比例函数和线性函数的概念：

(1)一般来说，如果两个变量x和y的关系可以表示为y=kx+b(k,b是常数，k0)的形式，那么y就称为x(x)的线性函数是自变量，y 是因变量）。

(2) 特别地，当线性函数y=kx+b(即)中b=0时(k为常数，k0)，称y为x的比例函数。

(3) 比例函数是一种特殊的线性函数。

2、函数的图像：

所有线性函数的图形都是一条直线。

3、线性函数和比例函数图像的主要特征：

(1) 线性函数y=kx+b的图像是一条通过点(0, b)的直线。

(2) 比例函数y=kx的图像是一条通过原点(0, 0)的直线。

4、比例函数的性质：

一般来说，比例函数 y=kx 具有以下性质：

(1)当k>0时，图像通过第一象限和第三象限，y随着x的增大而增大。

(2) 当k<0时，图像通过第二象限和第四象限，y随着x的增大而减小。

5、线性函数的性质：

一般来说，线性函数 y=kx+b 具有以下性质：

(1) 当k>0时，y随着x的增加而增加。

(2) 当k<0时，y随着x的增加而减小。

6、比例函数的确定及一次函数的解析公式

1、确定比例函数就是确定比例函数中的常数k y=kx (k≠0)。

2、为了确定线性函数，需要确定线性函数y=kx+b（k≠0）中的常数k和b。

3、解决这类问题的一般方法是待定系数法。

4、具体方法：交叉点必须更换，交叉点必须连接。

7、线性函数与一维线性方程组的关系

1、任何一元线性方程都可以转化为：kx+b=0（k，b为常数，k≠0）。线性函数的解析形式正好是y=kx+b（k，b是常数，k≠0）。当函数(y)的值为0时，即kx+b=0与一维线性方程完全一样。

2、由于任何一元线性方程都可以转化为kx+b=0的形式（k，b为常数，k≠0）。因此，求解一个变量中的线性方程可以转化为：当线性函数的值为0时，求对应的自变量的值。

3、从图像上看，这相当于确定已知直线y=kx+b与x轴交点的横坐标值。

如何高效地学习数学？

1、我的数学学习过程和遇到的困难

1、我的数学学习过程

我个人的数学学习过程比较曲折，大一的时候数学分析不及格。我自己是学力学的，所以我们大一的数学课跟数学系的课差不多。

大二时，我也没有通过高级代数。

两次考研，第一次考研不及格，第二次考研成功。考上了理想的学校，理想的专业，理想的导师。我以专业第一名的成绩被录取，包括专业课的成绩也是第一名。

当然，数学学习的道路是曲折的，原因有很多。一方面是个人利益。上大学的时候，一进图书馆，看到了很多知识，立刻就对各种知识产生了浓厚的兴趣，精力就分散了。一方面这是客观原因。主观原因是大学数学从来没有引入过。大学数学、高等数学、线性代数、数学分析和概率统计与高中的数学内容有很大不同。我的高中数学成绩一直很好，我参加考试的学校也是一所很好的学校，但是在大学里，我并没有开始学习数学。可以说，今天看来，直到大二，甚至大三四年，我都没有真正开始学数学。

如何开始？如何学习数学的乐趣，如何快速进步，这就是我今天要分享的主题。

2、数学学习过程中遇到的困难

你在学习数学的过程中遇到过什么样的困难？这些都是我亲身经历过的。

首先是数学内容抽象，无法理解。

二是要记住的知识点太多。

第三个问题，问题太难了，遇到问题我就不做了。

第四是找不到人讨论，太无聊了。

因为大学的学习特点，和高中不同，大家学的东西一样，走的步子也一样，所以遇到同样的话题，就可以讨论。但是在大学里，很难找到人来讨论，大家都很忙，所以看起来学习的过程很无聊。

五是战线太长，难以坚持。

什么是战线太长？我们大学的数学通常持续两年。例如，我花了一年半的时间学习数学分析，一个三个学期的课程。一旦不开始，就很难继续学习，而且越学越难受。

六是时间太短，压力大。

为什么时间这么短？因为每两个月有期中考试，每两个月有期末考试。学习的时候，准备考试的时候压力很大。

一位朋友说，“我看老师解决了一个充满英文和希腊字母的问题，结果答案竟然是阿拉伯数字，到现在还看不懂。”这些实际上是指更抽象的高等数学。

2、数学学习的反思

1、令人费解的数学名言

我大一和大二的时候也读过很多类似这样的名言，觉得写的很美，但我几乎无法体会其中任何一个字的意思。所以我当时心里很着急，难道这么好的事情，我和它没有关系吗？

同样，另一种情况更无奈。就是这些所谓的学术大师和大神，我称他们为绝望的人。比如我有个同学，也是我的小弟。我们在讨论数学的时候，经常在黑板上写一道微积分题，然后在黑板上算出来。他站在远处，看了三十秒，直接报了一个答案。这样的人有时在我身边，有时我们在网上看到他们。当然，感觉不合理。这样的人会说他天生就有数学头脑吗？我们不能吗？我不能吗？还有很多。在我大1、大2、甚至大三的整个过程中，我都在这样的混乱中啃着数学。

2、究竟什么是数学？

这样的本科经历，再加上考研，让我重新思考：

究竟什么是数学？我们应该如何学习数学？在这个过程中，有几件事给我留下了最深刻的印象。

一是阅读那些著名的数学书籍，看看这些数学家是如何看待数学的，他们是如何看待数学学习的。

其次，我参加了我校BBS科学版的一个活动，和同学们在科学版上讨论问题，以及线下面对面的讨论。每月有一次这样的活动。这两类活动给了我很大的启发，关于什么是学习？学习的本质是什么？

从今天来看，当时得到的理解是这样的。学习的本质是人与知识、人与人、人与自己的对话。当我们进入对话过程时，我们就开始了。让我们看看这句话是否有意义？

3、什么是数学？

要了解高等数学，我们必须问一个问题，什么是数学？以高等数学为例，人们经常在网上看到这样的所谓知识结构图。

在这张图片中，高等数学被比作一棵大树。函数是这棵大树的根。我们高中的数学就已经学过，比如反函数、奇偶校验函数、初等函数。 、复合函数等；那么这棵大树的主干就是函数的极限，也就是我们高等数学的第一章，函数的极限。

在左边，函数的极限增长了一个叫做导数和微分的大分支。导数和微分首先涉及均值定理、微分均值定理和均值定理的应用。然后引出第二个分支，多元函数的微分，函数的极限引出另一个大分支，称为不定积分。方面导致常微分方程。这不是思维导图做的，这是直接在这棵大树上加的东西，用PPT就可以做到。

这样的图像有助于每个人掌握知识，但也可能产生误导。这导致我们将数学仅仅视为知识。因此，在数学学习中出现了巨大的困难和障碍。我所谓的把数学当成知识，是学数学的第一个误区。

让我们看看伟大的数学家对数学的看法。例如，这本书叫《什么是数学》，副标题是《思想与方法的基础研究》，作者是库朗。库朗是20世纪最伟大的数学家之一，美国拥有世界知名的库朗研究所。许多伟大的科学家都对本书给予了高度评价，如爱因斯坦说：“本书对整个数学领域的基本概念和方法进行了透彻、清晰的阐述”；爱因斯坦的好朋友，威尔是 20 世纪伟大的数学物理学家，他称赞说，“这是一本非常完美的书，被数学家视为科学血液中的所有基本思想和方法。在《什么是数学”，最简单的例子说明了惊人的程度。”

看到爱因斯坦和威尔对这本书的评价，我们都想读一读这本书的内容，但如果你读了它，大多数人都会失望，包括我在本科三年级或四年级的时候学习，读这本书时，我很失望。由于本书三章内容与我们高等数学的内容相同，存在极限、微分、积分等重叠部分。

你为什么失望？因为这本书里的东西在我们看来很简单，甚至比我们教科书的内容还要简单。那么为什么这样的书会受到如此高的评价呢？ Then I spent several years pondering and got such an answer. In fact, this book does not seem to be complicated in content, but it tells us one thing, that is, what is mathematics? Its answer is: the essence of mathematics is thinking skills!

Let's see, the same mental structure runs through all parts of advanced mathematics.

What is this thinking structure?

is to introduce a definition from the problem, which generally corresponds to geometric intuition; then the definition introduces the properties of the definition, such as the properties of the derivative, the properties of the limit, etc. In addition, the definition contains operations, such as the derivative, from the definition of the derivative The algorithm can be derived directly. Then from the definition and operation rules and properties, a series of theorems will be deduced, and these theorems are applied in various complex mathematical situations, and even applied to other fields, including physics, economics, biology and so on.

Attention everyone, the key here is that all the branches of mathematics have the same structure, almost the same. Let's see if this statement makes sense. Let's recall, whether all branches of high numbers are the same. Such a same structure.

If we regard the essence of advanced mathematics as a thinking skill, we can immediately answer many questions, such as why I usually do well in the questions, but the results are not good in the postgraduate entrance examination. In fact, the most important reason is that mathematics is only knowledge. study, because when the postgraduate entrance examination, it will not test the same subject. The question type will also change, and our memory will fluctuate. If we focus on this thinking skill, we will find that skills are much more stable than knowledge memory, skills are much faster than knowledge memory, and skills are often An automated thing, and knowledge takes a long time to think about.

Let's look at a positive example, there is a junior brother who caught a cold during the postgraduate entrance examination. He caught a cold in the first two subjects, and even got a cold when he took the math test. As a result, he still got a score of 143 in the math test, and the test was mathematics. First, the reference books he used were all from the 2013 version. It was originally the 2014 postgraduate entrance examination. He should have used the 2014 version of the reference book, but he used the 2013 version. Why he was able to do this, actually math in his brain, became this thinking skill.

Maybe many people still don't understand: What is the difference between mathematical knowledge and mathematical thinking skills?

As an example, can someone who has read piano scores 10,000 times play the piano? Even someone who has played 1234567 10,000 times can play the tune well? Obviously not. So when we go to learn mathematics, we read the book many times, which may not be effective. Watching the video many times may not be effective, even if you practice many questions, it may not be effective, because there are many people who do this, and the test results are not ideal. People who do this, and those who do not get good grades in the test, abound.

Logical thinking in mathematics learning

We usually divide junior high school exam questions into basic questions, mid-level questions and finale questions. The learning of mathematical knowledge can also be expanded according to these three dimensions:

The first dimension: learn basic knowledge, resume the basic knowledge framework of junior high school mathematics, and be able to use these basic knowledge proficiently. The basic concepts should be clear, and when encountering error-prone problems, be able to pay attention to and avoid error-prone points.

For example, for the square root of the square root of 16 in the fill-in-the-blank question, many students write 4 or plus or minus 4 afterward. The key is that they cannot check it out by themselves. Many students will ignore the square root of 16. The correct way is to calculate first. The arithmetic square root of 16 is 4, and the square root of 4 is plus or minus 2.

The second dimension: fully understand the knowledge points, be able to draw inferences from one case, master it, and use these knowledge points proficiently. A thorough understanding of knowledge, coupled with training to the extent of flexible use, basically mid-range questions are very easy. The full score of junior high school mathematics is 150. After reviewing the mathematics of the senior high school entrance examination, it is very easy to pass 110. However, to break through the 125 and 130 points, it is necessary to master the knowledge, not only to brush the questions, but also to do targeted matching exercises and variant thinking.问题。

The third dimension: expand difficult points, summarize methods, and train logical thinking with variations. The first point of this level is to expand the difficulty of synchronous courses. Because after the basic knowledge is solid, the mid-level questions can also get full marks. If you want to get a score of 135, 140 or even higher, the final question is very important. Answer the final question,