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图书名称：《非奇异H-矩阵（张量）的判定准则及应用》

【页 数】 136

【出版社】 赤峰：内蒙古科学技术出版社 , 2019.03

【ISBN号】978-7-5380-3069-3

【分 类】矩阵-研究

【参考文献】 非奇异H-矩阵（张量）的判定准则及应用. 赤峰：内蒙古科学技术出版社, 2019.03.

图书目录：

《非奇异H-矩阵（张量）的判定准则及应用》内容提要：

本书介绍了近年来有关特殊矩阵的研究成果，并包含作者最近的一些研究成果，主要是H-矩阵的判定问题、H-张量的数值判定方法及其应用，全书由以下部分组成：第一章介绍后面章节要用到的预备知识，第二章研究H-矩阵的直接判定问题，第三章研究H-矩阵的含参量的迭代判定问题，第四章研究H-张量。

《非奇异H-矩阵（张量）的判定准则及应用》内容试读

第1章预备知识

首先介绍本书常用的记号：m×n矩阵

a11412

ain

A=

a22

amlam2

简记为A=(ag)mn,或A=(ay),其中，a称为A的i行j列的元素.当m=n时，称A为

n阶方阵.当A的元素a:全为实数时，称A为实矩阵.m×n实矩阵的全体记为Rmm.当A

的元素a,为复数时，称A为复矩阵.复矩阵的全体记为Cmx"

方阵A的行列式记为dtA,伴随矩阵记为A,逆矩阵记为A,单位矩阵记为I.如

需要表示矩阵的阶数，则记为In·用diag(a,a2,…,an)表示以a1,a2,,an为对角元素的对

角矩阵.由A=(a)mn得到的nxm矩阵A=(a)xm称为A的转置矩阵，而AH=A=

(ā)xm称为A的共轭转置.显然，A的i行j列元素是4，且(A)了=A:AH的i行广

列元素是am,且(AH)H=A.rank()为A的秩.

n×1的矩阵称为n维列向量，用小写英文黑体字母表示，如

X1

=(G,x2,,xn),

其中，x,称为x的第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量，维实列向量的全体记为

R.分量为复数的向量称为复向量，复维列向量的全体记为C”.分量全为0的向量记为

零向量，记为0

1.1常用不等式

在此，我们给出几个常用的不等式

定理11.1（几何平均与算术平均不等式）设x≥0(k=1,2,…,n),则

1

xx2…xn≤二(x+x2+…xn),

n

当且仅当x=x2=…=x时等号成立。

正明：由(G-)≥0得6≤G+),且等号成立的充要条件是=，

即n=2时成立.假设n=k时结论成立，当n=k+1时，不妨设x≤x2≤…≤x,又设

=,x4=+5+++

如果x=X,显然有a1=b1,结论成立.下设x

1

x2k+(x+x2+…+xk+x+i)=bs+1

所以，(b1-x)(x1-b1)>0,展开并整理得

bk+1(x1+X+1-bk+1）>xxk+1

(1.1.1)

由b:=k+1

1

化，+x+++）得1=6+6+++西+1-b》,

再由假设n=k时结论成立，则有

b≥x2…(化1+X1-b+1)

两边求k次方再乘以b1,得

b州≥x2…x(G+xH-bi).

将式(1.1.1)代入上式得

b+1≥x2…x(G+k4H-bi)>Vx2…xx(xxk+i)=ak+1

故对自然数结论成立

证毕.

定理1.1.2(Cauchy--Schwarz不等式)设xk,y(k=1,2,…,n)为实数列，则

(∑x)P≤（∑∑），

(1.1.2)

当且仅当sx=y(k=1,2,…,n)时等号成立，其中，S,t是常数.

证明：当x=x2=…=xn=0或y=y2=…=yn=0时，显然式(1.1.2)等号成立.以

下假设x不全为零且y不全为零.

设a:和6为正实数，由(a,-6厂≥0得a,A≤（口+)，该式两边关于长求和得

2

∑a,.≤∑以+∑b

(1.1.7)

D

取a=x/(∑x)P,b=以/（∑y)”,代入式11.7）整理后即得不等式11.6.由定理11.3知，式(1.1.7)等号成立的充要条件是a=b(k=1,2,…,n),即

Sx=ty(k=1,2,…,n),

其中，s和可取为s=∑，1=∑是

证毕

注：Holder不等式是Cauchy-.Schwar不等式的推广.当x>0(k=l,2,…,n)时，

H6lder不等式等号成立的充要条件可改写为

星=坚=…=

1.2M-矩阵的性质与判别法

M矩阵是计算数学中重要的矩阵类，它有着广泛的应用背景.生物学、物理学、数学和

社会科学中的许多问题都和M矩阵有着密切的关系.如经济价值模型矩阵和反网络分析的

系数矩阵以及求某微分方程的数值解，经济学中投入-产出分析和增长模型、最优化中的线性互补问题、概率统计中的Markov链等问题，经常会应用到M-矩阵理论.作为矩阵理论的

一个分支和研究问题的方法与手段，经过众多数学家和经济学家的不懈努力，M-矩阵的研

究得到飞速发展和不断完善.

首先介绍有关的定义与符号.设R”表示实数域R上所有n元数组x=(化，x2,,x)

n维向量空间.R”中的向量称为n维的非负向量，记为x≥0.如果非负向量x的坐标都大

于零，则称x为正向量，记作x>0.设Rmx(Cm")表示实数域R(复数域C)上所有m×n

矩阵A=(a财)mn的集合.如果矩阵A=(ay)mxn的所有元素a,≥0，则称矩阵A为非负矩阵，

记作A≥0.若非负矩阵A=(a)mxn中的所有元素a>0,则称矩阵A为正矩阵，记作

A>0.矩阵A=(a)m的n个特征值1，入2，…，2n组成的集合称为A的谱，记作σ(A),

即σ(A)={2,乙2，…，2n}.矩阵A的n个特征值的模的最大值称为A的谱半径，记作p(),即p(A)=max2,n2…,九.记N={L,2,…,n川.如果一个方阵的每行每列都有一个元素为1，其余元素都为0，则称该方阵为置换阵.

4

对于A∈C,如果存在置换阵P使得A=PA4pr,其中A,为r阶方阵，A2

043

为n-r阶方阵，1≤r

A是不可约的(irrducible).不可约矩阵有时也叫作不可分解矩阵(indecomposable matrix).例如矩阵

「123

000

456

是可约的，因为

010123010000

1000001

0

3

001456001

46

0

10

1

b

矩阵1

是不可约的，因为任何2×2阶的置换阵P都不能使P

p成为

0

10

d

的形式.

从不可约矩阵的定义可以看到如下结论：

(1)当且仅当A是不可约时，A∈C"是不可约的，

(2)若A≥0是不可约的，B≥0，则A+B也是不可约的

直接按定义判别A∈C"是否可约，需要用！个置换阵P进行验算.当n很大时，这是

一项计算量极大的工作.不过，对于我们感兴趣的非负矩阵来说，存在着有效的方法.若记

a=(A),

则有如下的判别定理，

定理1.2.1n×n阶非负矩阵A是不可约的，其充分必要条件是：对所有的（位，），存在自然数q,使得a>0.

推论1.2.1n×n阶非负矩阵A是不可约的，其充分必要条件是存在一个自然数p,使得

A+A2+…+AP>0

如果注意到

a=立∑-立a,4h04且a,≥0，则不难看出，a>0的充分必要条件是存在一组，2，…，j,使得a4…a>0.于是便得到如下结论

定理12.2n×n阶非负矩阵A是不可约的，其充分必要条件是之4>0.

证明：充分性有上面的推论1.21可得.现在证明必要性.若A≥0是不可约的，则根

据推论1.2.1，存在自然数p,使得

2>0.

k=

当p≤n时，结论显然成立.若p

424>0.

k=0

其中p-l≥n.再利用Cayley-Hamilton定理，上式可写为

5

2r0

欲使上式不等式成立，对每一给定的(i,),必存在某一自然数q≤n,使得(A)#>0,因此便证得

2>0.

证毕.

下面给出矩阵理论中一个重要的定理.

定理12.3(Perron-Frobenius)设A=(a,)n≥0为不可约矩阵，则

(1)A有一个正特征值()：

(2)相应于p()存在一个特征向量x>0:

(3)p(A)随A的任一元素的增加而增加：

(4)p(A)是A的单重特征值.

1.2.1M-矩阵的定义与基本性质

本节给出关于M-矩阵的性质及其部分判定方法.

定义12.1设Zm={A=(a,)A∈R",a,≤0，i,j∈N,i≠j},则称Z"的矩阵A

为Z矩阵（简记为A∈Zn).如果A=(a)∈Z"且满足a>0(i∈N),则称A为L

矩阵或Metzler矩阵】

定义1.2.2若A∈Zm",则A可以表示为A=sI-B,其中B≥0.当s≥p(B)时，

称A为M-矩阵.特别地，当s>p(B)时，称A为非奇异M-矩阵；当s=p(B)时，称A为奇异M-矩阵：对称的M-矩阵称为Stieltjes矩阵，简称S-矩阵。

由定义12.2可知，如果A为非奇异M-矩阵，则它的主对角线以外的元素都是非正值，

即A为Z矩阵.

引理1.2.1设A=(a)∈Z"可表示为A=xI-B,B≥0，a∈R,则

(1)A的任意特征值元包含在区域{z∈C:z-叫≤p(B)}之中，从而满足

Re()≥a-p(B)

(2)C-p(B)是A的特征值，

(3)A为正稳定矩阵的充要条件是a>p(B).

6

···试读结束···