《H型群上的偏微分方程》韩军强，钮鹏程著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《H型群上的偏微分方程》

【作　者】韩军强，钮鹏程著

【丛书名】西北工业大学研究生创新教育系列教材

【页 数】 137

【出版社】 西安：西北工业大学出版社 , 2009.10

【ISBN号】978-7-5612-2667-4

【价 格】20.00

【分 类】偏微分方程

【参考文献】 韩军强，钮鹏程著. H型群上的偏微分方程. 西安：西北工业大学出版社, 2009.10.

图书封面：

图书目录：

《H型群上的偏微分方程》内容提要：

本书内容包括H型群的基本知识，H型群上的次Laplace算子和P-次Laplace算子的基本解及平均值定理，Pohozaev型积分恒等式与不存在性等。

《H型群上的偏微分方程》内容试读

第一章H型群的基本知识

与满足H6 rmander有限秩条件的一组光滑向量场相联系的无穷小量群是非交换幂零Lie群，它们的Lie代数允许分层.这些群在亚椭圆偏微分方程、非交换调和分析、次Riemann几

何和CR几何函数理论的研究中占据着中心位置，

本章l.l节首先介绍Heisenberg群，这是一类最简单的Carnot群，这便于理解后文内容，以便于与H型群比较.为方便引入H型群，在1.2节简略介绍一般的Carnot群.在1.3节中由二步Carnot群进人到H型群，这节内容是后面各章的基础.

1.1+eisen berg群

设n≥1，

专=（x1,xny1,…,yn,t)=(x,y,t)∈R2mξ=(1，…，xn,y1,…,yn,i)=(7,y,i)∈R2+

Heisenberg群H”是在集R+'上赋予群运算法则

·=(x+x,y+y,t+i+2∑(xy,-xy)

(1.1)

所得的Lie群，

在Heisenberg群上，定义模

1lr[(2(x+)2+]

(1.2)

记1为的逆，并注意到=一点.定义专，之间的距离为

d,)t|e1·slmr=

{[∑(x,-x)2+(-y)2)]2+[-i+22(x成，-，)]°}

(1.3)

Heisenberg群Hm有一族伸缩：

6,(x,y,t)=(λx,y,λ2t)

(λ>0)

而模I·|"关于伸缩族{6：}是一次齐次的，即

6,(E)1H=入|ξ|H(HE∈H)

H型群上的偏微分方程

相应于{6a},H的齐次维数为Q=2n+2.

在上述距离下，中心在处，半径为R的开球定义为

Br(e,R)1{7∈H:a5,7)

Heisenberg群的Lie代数由向量场

x,=2+2y,axj

(j=1,2,…,n)

(1.5)

y,=品-2xa

dyj

所张成.相应的广义梯度为

7md(X1,…,X,Y,…,Y.)

Heisenberg群上的次Laplace算子△定义为

△rat2(+,

(1.6)

显然

X,(8)=8a(X,）

(j=1,2,…,n)

(1.7)

Y,(8a)=8(Y,)

成立。因此

△H(8:)=入26，（△H)

(1.8)

容易检验

I Vwl&lw 12=y det2x+)

|ξ|a

(1.9)

设u∈C2,且u=u(|ξ|H),则成立

(1.10)

p-次Laplace算子为

>[X,(I Vwu l+Xu)+Y,(I Vreul-Yu)]=

VH(|VHu 2 VHu)

(1.11)

Heisenberg群上的极坐标变换

(x,y,t)=Φ(p,0,01,…,02m-1)

定义如下：

2

第一章H型群的基本知识

1=p(sine)cos0y1=p(sine)sin0.cos022=o(sine)sine,sine2cos03y2=o(sine)sing,sinez sine,cose

(1.12)

=p(sine)sine sine2.sinez 2 cosy=p(sine)sine sine2.sine22sinent =p'cose

其中

p≥0,0∈[0，π]，0：∈(0，x),i=1,…,2n-2,02-1∈[0,2π)

式(1.l2)是由Greiner!]和D'Am brosiot2]分别给出的.

用J(Φ)记Φ的Jacobi矩阵，那么

|J(Φ)|=o2t1(sin0)l(sind1)2w-2…sin0r-1

(1.13)

事实上，

r=x=2(x+i)=p(sin0)t,t=ocos0

(1.14)

R2”上通常的球面坐标给出

dz=r2drdwzn

(1.15)

其中d2m表示S2m1上的Lebesgue测度.由式(1.12)和式(1.14)有

ar

Or

@(r,t)

op

a0

a(p,8)

=p(sin0)

at

at

2p

a8

这就给出

drdt=p2 (sine)dode

(1.16)

由式(1.15)和式(1.16)得

dzdt=rdrdwz dt=[o(sine)(sin)dododwz=

(sin)dododwz

因此即得式(1.13).

关于球体积，我们分两种情形加以定义，

(1)相应于次Laplace算子，定义球体积[]

并用极坐标变换计算知

3

H型群上的物微分方程

1z2=

1Beo.h-nn

d2

g2.p2(canordbabanw=

(ing)'de

r()

2x

r告)

r()9

r(1+)

2x叶Ror去）

Qr(n)r(1+2)

(2)相应于p-次Laplace算子(p≠2)，定义球体积[)为

1Bro.R1=小nn

并计算得

1Bro.-小nal+

Lz”=

。K信2p产(4o

vr(受+)

(合+登+】

πr(径+)

r(合+台+)

2x叶Rr(登+)

Qr(mwr(合+登+)

第一章H型群的基本知识

1.2Carnot群

H6 rmandert5]的有限秩条件为

rank Lie[X1,…,Xm]=n

(1.17)

Carnot群的名称来源于Caratheodory在Carnot热力学方面的基础性论文[s].

1.2.1r步Carnot群

设r为自然数，一个r步Carnot群G是一个单连通Lie群，它的Lie代数g具有一个r步的幂零分层，即满足

g=V①V2④…⊕V,=⊕=1V,

且

[V1,Vj]=V1(j=1,,r-1)

但

[V1,V,]={0}

给定g上的一个内积〈·，·〉，《V,}5=1关于这一内积互相正交.设m;=dimV;,j=1,…,r,记

N=∑m为G的拓扑维数，设{X1,…,Xm,j=1,…,r为第j层V,的一组固定正交基，V中元素的形式次数为j.我们用9，g',9分别记G中的点，而用Z,Z,Z分别表示Lie代数g中的元素.用

Lgn(g)=909,R,(g）=990

(1.18)

分别表示群G上由元素g。∈G产生的左平移和右平移.指数映射exp:g→G是一个整体解析微分同胚们.令

g=exp(g(g)+2(g)+…+e,(g)

定义解析映射：G→V:,i=1,…,r.对g∈G,它的指数坐标在V,(=1,…,r)上的投影定义为

x.(g)=〈5，(g）,X〉(s=1,…,m,)

(1.19)

为了后文方便，我们给前两层V1和V2中元素以特定的记号.令m=m1,=m2,且记

X={X1,…,Xm}={X11,…,X1m}

(1.20)

Y=Y,…,Y}={X2,1,…,X2k}

并以X和Y表示G上相应的左不变向量场，定义为

X,(g)=(Lg).(X,)(j=1,…,m)

Y(g)=(Lg）.(Y)

(1=1,…,k)

其中，(Lg),表示L。的微分.向量组X定义了切丛TG的水平次丛HG的一组基。

设f:G→R,X对f的作用定义为

5

H型群上的俯微分方程

Xif(g)=limf(gexp(tx;))-f(g)_

1-。0

品f(gexp(X,》

(1.21)

对任何左不变向量场，类似的公式也成立.以

1x,(9)=(6(g),X,）

(j=1,…,m)

(1.22)

ly(g)=〈E2(g),Y,〉

(s=1,…,k)

分别表示g的指数坐标在V:和V2上的投影.记

x(g)=(x1(g),…,xm（g))y(9)=(y1(g),…,ys(g))

我们常常把g∈G和它的指数坐标

g=(x(g),y(g))

(1.23)

等同起来，其中“…”表示N-(m十k)维向量(x31(g),…,x3m（g),,x1（g),…,xm,（g).

特别地，当群G是2步群时，式(1.23)简化为

9=(r(g),y(9),…)

G与Lie代数g的等同是通过Baker-Campbell-Hausdorff公式[)

expZexpZ'=exp(Z+Z+2[Z,Z']+…）

(Z,Z∈g)

(1.24)

来体现的，其中“…”表示包含二阶及更高阶交换子的项的有限线性组合.

对Z∈g,考虑映射0z:g→g,

02(Z)=Z+Z%+2[Z,2]+…

（1.25)

其中右端由式(1.24)给出.如果给Lie代数g赋予多项式群运算法则

Z。Z'=0z(Z)

(1.26)

那么，可以通过指数坐标把群G和它的Iie代数g等同起来.

在Carnot群上，X;=一X,[].与基X相联系的次Laplace算子是G上的二阶偏微分算子

L=2xX,=-分X9

(1.27)

由对Lie代数所作的假设，立即可以看到：

rank Lie[X:,…,Xm]=n

因此由Hδrmander)的定理知，算子L是亚椭圆的.

每一个Carnot群都自然地具有一族各向异性伸缩.Lie代数g上的伸缩△，：g→g定义为：若X=X+…+X,∈g,X,∈V,j=1,…,r,则

△X=△：(X1十…十X,)=X1+…+X,

(1.28)

用指数映射把式(1.28)提升到群上，即

8:(g)=exp。△a。exp(g)(g∈G)

(1.29)

6

···试读结束···