《数学》谌悦斌主编；江海洋，文琼瑶，罗炯兴副主编|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《数学》

【作　者】谌悦斌主编；江海洋，文琼瑶，罗炯兴副主编

【页 数】 271

【出版社】 成都：西南交通大学出版社 , 2015.09

【ISBN号】978-7-5643-4144-2

【价 格】51.80

【分 类】数学-高等学校-教材

【参考文献】 谌悦斌主编；江海洋，文琼瑶，罗炯兴副主编. 数学. 成都：西南交通大学出版社, 2015.09.

图书封面：

图书目录：

《数学》内容提要：

本书为预科教材，依据《新高中数学课程标准》和《高等数学课程教学基本要求》专为一类模式预科生编写。主要内容有式、方程与不等式、函数、复数与一元高次方程、导数、微分等。教材重基础知识与基本技能，注重过度与衔接，增大高等数学在教材中的比例。全书结构严谨，逻辑清晰，叙述详细，通俗易懂，符合学生实际，例题选择精当，习题针对性强

《数学》内容试读

第一章集合、数学归纳法和二项式定理

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第一章集合、数学归纳法和二项式定理

集合是近代数学的重要概念之一，其思想已经渗透到众多科学领域中，它作为一种基本工具在数学的各个方面均有十分广泛的应用.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，用来论证某些与正整数相关的命题是否成立.二项式定理的展开式是一个重要公式，应用广泛，

第一节集合

集合是现代数学的基础.研究集合的理论称为集合论，它是数学的一个基本分支，在数学中具有独特的地位.如果把数学比作一座大厦，那么集合论就是构成这座大厦的基石.现代数学的各个分支都构建在严格的集合理论之上

一、集合的概念

在中学数学课本和日常生活中有如下一些关于集合的图形和语句

(1)在中学数学课本中经常讲如数、方程和代数式（见图1.1)等一些具有相同性质或结构的代数式，并放在一起，用以分析和解决相关问题

2ab,-3y,

53y

aa+2b…

图1.1

(2)在代数中学习数的分类时，就用到了“正数的集合”“负数的集合”和“自然数的集合”等，这些都用到了集合的概念

(3)在几何中学习圆时讲到，圆是到定点的距离等于定长的点的集合.可以说几何图形都可以看成由点构成的集合

从这些例子可以看出，集合可以由数、代数式、点或图形等构成

一般地，我们把具有某种特定性质的事物的全体称为集合，简称集.组成集合的每一个

个体称为集合的元素.习惯上，集合通常用大写字母A,B,C,…表示，集合中的元素通常

用小写字母a,b,c,…表示.

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数学

按集合中包含元素的个数多少可将集合分成两类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集，

(2)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集下面是一些常用的数集及其记法：

自然数集：全体非负整数构成的集合，记作N;

正整数集：全体正整数构成的集合，记作N或N;

整数集：全体整数构成的集合，记作Z;

有理数集：全体有理数构成的集合，记作Q;

实数集：全体实数构成的集合，记作R

二、集合的表示方法

在数学上，集合的表示法中常用的有列举法、描述法、图示法与区间法】

1.列举法

列举法，把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“{}”内表示集合的方法，即：

A={一一写出所有元素}.

例如：M={1,2,3,4},N={2,4,6,8,…}.

2.描述法

描述法，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.其具体方法是：

A={x∈M

p(x)}

集合的代表元素

集合中元素的公共属性

例如：M={不大于4的自然数}={小于或等于4的自然数}={小于5的自然数}

自然语言

={x∈N|x≤4}={x|x≤4，x∈N}←常用的数学语言；

N={全体偶数组成的集合}={x|x=2k,kEZ☑；

P={全体奇数组成的集合}={x|x=2k+1,k∈Z}

3.图示法

图示法，在平面上用一个图或一条封闭曲线来表示集合，这种图称为韦恩图(Venn).这种表示方法形象、直观，如图1.2所示.

锐角三角形

2,4,6,8,10

直角

钝角

三角形

三角形

图1.2

第一章集合、数学归纳法和二项式定理

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4.区间法

区间法，在函数中我们常用区间来表示集合.即：

(1)有界区间：设a,b是两个数，且a

名称

符号

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a,b]

x a

开区间

(a,b)

{x|a≤x

半开半闭区间

[a,b)

{xa

半开半闭区间

(a,b]

(2)无界区间

定义

符号

{x|x≥a}

[a,+o0)

(xx>a

(a,+oo)

{x|x≤b}

(-∞，b]

xx

（-00,b)

实数集R

(-00,+00)】

注意：“∞”是一种变化趋势，而不是一个数，切不可把它和很大的量混淆起来例1用列举法表示下列集合：

(1)由大于3小于10的整数组成的集合：

(2)方程x2-9=0的解的集合

解(1)设大于3小于10的整数组成的集合为A,则

A={4,5,6,7,8,9}

(2)设方程x2-9=0的解的集合为B,则

B={-3,3}

例2用描述法表示下列集合：

(1)小于10的所有有理数组成的集合；

(2){2,4,6,8,10,12}.

解(1)设小于10的所有有理数组成的集合为A,则

A={xx<10,x∈Q};

(2)设集合{2,4,6,8,10,12}为B,则

B={xx=2n,n≤6，n∈N*}

三、元素与集合的关系

1.集合中元素的特性

(1)确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，即任何一个元素要么

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数学

属于这个集合，要么不属于这个集合，两者必居其一且仅居其一

而如：“年长的人”“比较厚的书”“好看的花”“美丽的姑娘”等都不能构成我们这里所讲的集合，因为它们所描述的对象不准确

这个性质是集合的最基本的特征，也是普通集合区别于模糊集合的标志

(2)互异性：同一个集合里不能重复出现同一元素，即集合中的元素必须是互异的例如：{a,a,b,c}就不是正确的表示法，而{a,b,c}才正确。又如，集合{2x,x2-x}中，x应满足2x≠x2-x,即x≠0且x≠3.

(3)无序性：集合中的元素是可以没有顺序的.例如：A={a,b,c,d={d,b,a,c以.

2.元素与集合的关系

如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作：aEA.

例3判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由：

(1)小于5的自然数的全体；

(2)某校高一(2)班所有性格开朗的男生；

(3)英文的26个大写字母；

(4)非常接近1的实数

解（1)小于5的自然数包含：0,1,2,3,4.元素明确，可以组成一个集合；

(2)某校高一(2)班所有性格开朗的男生，不清楚性格开朗的男生应该满足什么标准，元素不明确，不能组成一个集合；

(3)英文的26个大写字母包含：A,B,C,D,E,E,G…,X,Y,Z.元素明确，可以组成一

个集合；

(4)非常接近1的实数，不清楚满足什么条件的数才是非常接近1的实数.元素不明确，不能组成一个集合

四、集合之间的关系

1.子集、真子集的概念

(1)子集：若x∈A→x∈B,则称A是B的子集记作：A三B(或B2A)(“三”相当

于“≤”)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)

例如：A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，

则A是B的子集

(2)真子集：若x∈A→x∈B,但3y∈B,且yA,则称A为B的真子集，记作

ACB(或B一A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)

例如：A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},可知，AsB,但4∈B,4EA,所以ACB

(3)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作：☑规定：空集是任何集合的子集，

第一章集合、数学归纳法和二项式定理

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例如：{xx2<0}和{xx+1=x+3},这两个集合都不含任何元素，均为空集.即{xx2<0}=☑和{xx+1=x+3}=⑦.

特别地，空集⑦是任何集合的子集.也是任何非空集合的真子集，

2.子集的性质

如果A,B,C是三个任意集合，那么：

(1)A三A,即任何一个集合是它本身的子集

(2)⑦三A,即空集是任何集合的子集.如果A≠⑦，则⑦三A.

(3)如果ASB,B∈C,则A三C,

(4)如果AcB,BcC,则AcC

例4判断：集合A是否为集合B的子集，若是，则在()打“√”，若不是，则在

()打“×”

(1)A={L,3,5},B={L,2,3,4,5,6

(2)A={L,3,5},B={L,3,6,9;

(3)A={0},B={xx2+2=0;

(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.

()

例5列举集合{1,2,3}的所有子集解含有0个元素的子集有⑦；含有1个元素的子集有{，{2}，3}：

含有2个元素的子集有{L,2},{L,3},{2,3};

含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个

3.集合相等

(1)定义1：若两个集合A,B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作：A=B.

(2)定义2：若A三B,且B2A,则称集合A与集合B相等，记作：A=B,

例如：由C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}，可知C=D.

五、集合的运算

1.交集

给定两个集合A和B,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A

与B的交集，记作A∩B,读作A交B,即

A∩B={x|x∈A且x∈B}

交集的Venn图表示为图l.3:

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数学

B

图1.3

交集的性质：

(1)A∩B=B∩A;

(2)(AnB)nC=A∩(B∩C);

(3)A∩A=A;

(4)A∩0=0∩A=0.

2.并集

给定两个集合A和B，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A

与B的并集，记作AUB,读作A并B,即

AUB={xx∈A或xEB}.

并集的Venn图如图1.4所示.

图1.4

并集的性质：

(1)AUB=BUA;

(2)(AUB)UC=AU(BUC);

(3)AUA=A;

(4)AU0=0UA=A.

3.补集

(1)全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，

通常记作U.

(2)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合

A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CA,即

CuA={xx∈U,且xEA

补集C,A的Venn图如图1.5所示.

···试读结束···