《三角不等式研究与欣赏》邓寿才著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《三角不等式研究与欣赏》

【作　者】邓寿才著

【页 数】 474

【出版社】 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 , 2020.10

【ISBN号】978-7-5603-9033-8

【分 类】三角-不等式-研究

【参考文献】 邓寿才著. 三角不等式研究与欣赏. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社, 2020.10.

图书封面：

图书目录：

《三角不等式研究与欣赏》内容提要：

本书共分3章，即预备知识、三角不等式、名题欣赏与研究，详细介绍了各种类型的三角不等式，并对这些常见不等式进行了推广与拓展，同时还介绍了研究三角不等式的常用方法，最后还设置了三角不等式名题欣赏与研究部分。本书中列举的各个习题都给出了详细的解法和分析，且有的题目给出了多种解法，并从多个角度进行拓展，使读者开拓眼界，对三角函数有一个更深入的了解，便于更好地掌握相关知识。本书适合高中师生、大学师生及广大数学爱好者研读。

《三角不等式研究与欣赏》内容试读

预备知识

在工作或劳动时，我们通常需要劳动工具.同样，在证明研究、创建三角不等式和几何不等式时，我们通常需要一系列相关的定理、公式，才能让我们在解答试题和研究中如鱼得水、轻松自然。

第

第1节三角恒等式

1.加法公式

sin(ax±B)=sin acos B±cos asin B

tan(a±B)=1千tan atan Btana±tanB

cos(a±β)=cos acos B千sin asin Bsin'a cos'a=1,tan a cot a =1

2.和差与积互化公式

章

sin a+sin B=2sin Bcos

2

2

sin a-sin B=2cossina-

2

cos a+cosB=2cos+BcosB

2

2

a-msB=-2an生n“9tana±tanB=sin(a±B)cos acos B

cota±cotB=±sin(a±B)

sin asin B

sin asin B=cos(B)co(+)]

1

cos acos B=(a+B)+(a-B)]

sin cB in()+sin(B)]cos asin B sin()sin()

3.倍角公式

sin 2a=2sin acos a=2tan a

1 +tan'a

cos 2a cos a sin'a

=2cos2a-1 =1-2sin2a1-tan'a1 tan'a

2tan a

tan 2a=1-tan'a

cot'a-1

cot 2a=2cot a

sin 3a =-4sin'a +3sin acos 3a =4cos'a-3cos a

4.半角公式（下列公式中根号前所取符号与等号左边符号一致）

sin 2

1-cos a2

a

c052三N1 cos a2

=±/1 cos a1-cos a

sin a

tan2

1+cos a

sin a

1 +cos a

cot a

1 +cos a1+cos a

sin a

2

1-cos a

sin a

1 -cos a

5.配方公式

1士血a=(ow受±sn受Ptan'a+cot'a=(tana±cota)2千2

6.降幂公式

sin'a =7(1-c0s2a）)

cos'a=21(1+cos 2a)

三角不等式研究与欣赏

2

Research and Appreciation of Triangle Inequality

sin'a=1(3sin a-sin 3a)

4

cos a

4(3cos a+cos 3a)

7.正弦定理与余弦定理

a

b

C

sin Asin B sin Ca2=b2+c2-2bccos Ab2=c2+a2 -2cacos Bc2=a2+b2-2abcos C

8.△ABC的角间关系式

在△ABC中，从A+B+C=T出发，运用和积互化公式、倍角公式和各种技

巧，能推证出三角形内角之间的近百个恒等式或不等式来，以下为几例

sinA+sin B+sin C=4cos cocos

sin 2A sin 2B sin 2C =4sin Asin Bsin C

3A 3B 3C

sin 3A +sin 3B +sin 3C=-4cos 2cos 2cos

2

sin 4A sin 4B+sin 4C=-4sin 2Asin 2Bsin 2C

一般地，有推广结论：

定理1设k∈N,在△ABC中，有

sin kA sin kB sin kC4sinkπkA kB kC

2

(当k=4n±1时)

(当k=4n-1±1时)

如果我们设k=r(mod4),其中r∈{0,1,2,3}，并记

4):14(产mg+（受2

12

g-Ⅱ·号刳

那么上述三角公式可统一成

∑sin kA=4(-1)'-f(k,r)·g(k,r)

(1)》

相应地，有

cooniC2 sin

2

cos 2A cos 2B+cos 2C=-1-4cos Acos Bcos C

cos 3A +cos 3B+cos 3C=1-4sin sin sin-sin

2

2

cos 4A cos 4B cos 4C =-1 +4cos 2Acos 2Bcos 2C

3

一般地，有：

定理2设k∈N,在△ABC中，有

cos kA cos kB cos kC

【1+4 sin sin2 sin sin9

2 sin2 sin

2(当k=4n±1时)

-1-4coskn kA kB kC

2cos 2cos 2 cos 2(当k=4n-1±1时)

仍然设

k=r(mod4),r∈{0,1,2,3

=Πm+.罗-剑22

则上述公式可统一成

∑cos kA=(-1)-1[1+41(k,)]

(2)

有趣的是，由公式

-1 -4cos Acos Bcos Ccos 2A cos 2B cos 2C=2(cos2A +cos2B+cos2C)-3

cos2A +cos2B+cos2C +2cos Acos Bcos C=1

相应地，还有三角公式和相关定理，它们在不等式证明中有重要的应用

tan A tan B+tan C=tan Atan Btan C

m号+m号m号+mm

tan

A=1

A

A B C

cot B+cot G-cot 2 cot 2cot 2cot

cot Acot B+cos Bcot C+cot Ccot A=1

现在我们来证明定理1.定理2同理可证，故略。证明(1)当k=4n±1(r=1或3)时

sin kA sin kB+sin kC=2sinkA +kB)

sin kC

=±22m±（受✉4，sin kC

=±2c0s2 cos/

kC kC

2

2

kC(kA kB

=±2c02

cos2

+cos kA +kB

2

kC kA kB

=±4c0s

=4sin 2

2 cos2

三角不等式研究与欣赏

4

Research and Appreciation of Triangle Inequality

(2)当k=4n-1±1(r=0或2)时，同理可得

sin kA sin kB sin kC

kπ:kA kB:kC=-4cos 2sin 2'sin2 sin2

此外，仍设n∈N,则有

tam(-0）=(-1)-.(cot0)--=(-1)-1·(am0)-

如果设n∈N,,且n=r(mod4),则有

Σ(m1(-1)n-1

=1

(3)

自然，式(3)是一个有趣的公式，但是必须满足A,B,C≠2m或(2k±1)π，其中

n

k∈N,,否则式(3)无意义，

此外，还有其他公式

sin3a=3sina-4sin'a=4sin(号-a)sin asin号+acos 3a=4cos'a-3cos a=4cosacos arcos+a

tan 3a=tan tan atan+asin2a-sin'B=sin(a+B)sin(a-B)cos'a-cos'B=-sin(a+B)sin(a-B)

aix+6cg=v合+8m(x+0),其中tm0=名(a0)

9.特殊三角公式

sin A+sin B-sin C=4sin A siB C2 sin 2 cos 2

sin 2A sin 2B-sin 2C =4cos Acos Bsin C

omA+mB-0sC-1+4ms号=gn号

cos 2A cos 2B-cos 2C =1 -4sin Asin Bsin Csin2A sin2B+sin'C=2 +2cos Acos Bcos CsinA +sinB+sin'C

3A3B 3C

=3cos cos B cos C+cos 3 cos 3cos

cos2A cos2B+cos2C=1 -2cos Acos Bcos CcosA cosB +cosC

5

3A:3B.3C

2 sin 2

A

C

sin22A sin22B sin22C=2-2cos 2Acos 2Bcos 2C

下述等式供大家练习：

(1)(a+b)cos C+(b+c)cos A+(c+a)cos B=2p.

在△ABC中，p为△ABC的半周长，即p=(a+6+c),面积为4（或S).

外接圆半径为R,内切圆半径为

(2)a(b2+c2)cos A+b(c2+a2)cos B+c(a2+b2)cos C=3abc.

(3)4bcos+aoaw号+be）=(a+b+o月

(5)(abc)2 (sin 2A sin 2B+sin 2C)=3243.

(6)tan 2 tan+tan C I+sin sin sin。ABC

AB C

(8)cot kAcot kB+cot kBcot kC+cot kCcot kA=l(其中k∈N,).

(9)(tan A+tan B+tan C)(cot A+cot B+cot C)=1+sec Asec Bsec C.

(10)cos Acos B+cos Bcos C+cos CcosA=4R4R

(11)cos Acos Bcos C=-(2p+r)

4R2

(12)cOsA+cos'B+cosC=6R++4Rr-p

2R2

(13)(b2-c2)cot A+(c2-a2)cot B+(a2-62)cot C=0.(14)(sin A+sin B+sin C)(cot A cot B+cot C)=

++e)品++动(15)cos A+cos B+cos C=1+R

AB.C r

sin 2 sin 2 sin 2=4R

三角不等式研究与欣赏

6

···试读结束···