《几何原本 欧几里得原理十三卷 第2册》（古希腊）欧几里得著；冯翰翘译；李桠楠校|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《几何原本 欧几里得原理十三卷 第2册》

【作　者】（古希腊）欧几里得著；冯翰翘译；李桠楠校

【页 数】 359

【出版社】 北京：生活·读书·新知三联书店 , 2021.10

【ISBN号】978-7-5426-7497-5

【价 格】188.00（全三册）

【分 类】欧氏几何

【参考文献】 （古希腊）欧几里得著；冯翰翘译；李桠楠校. 几何原本 欧几里得原理十三卷 第2册. 北京：生活·读书·新知三联书店, 2021.10.

图书封面：

图书目录：

《几何原本 欧几里得原理十三卷 第2册》内容提要：

《几何原本 欧几里得原理十三卷 第2册》内容试读

卷Ⅲ

定义

1.等圆就是直径或半径相等的圆。

2.一条直线叫作切于一圆，就是它和圆相遇，而延长后不与圆相交。

3.两圆叫作彼此相切，就是彼此相遇，而不彼此相交。

4.当圆心到圆内直线的垂线相等时，称这些直线到圆心有相等的距离。

5.而且当垂线较长时，称这直线有较大的距离。

6.弓形是由一条直线和一段圆弧所围成的图形。

7.弓形角是由一条直线和一段圆弧所夹的角。

8.在弓形的圆弧上取一点，连接这点和弓形的底的两个端点的二直线所夹的角叫作弓形内的角。

9.而且当包含角的两条直线截取一段圆弧时，这个角叫作张于这段弧上的角。

10.由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形叫作扇形。

11.相似弓形是那些含相等角的弓形，或者说它们内的角是彼此相等的。

定义1

Egual circles are those the diameters of which are equal or theradii of which are equal.

许多编辑者认为不应当把这个包括在定义之中。某些人，例如塔塔格里亚(Tartaglia)把它称为公设；另外一些人，例如博雷里(Borelli)和浦莱费尔(Playfair)把它称为公理；而比林斯雷(Billingsley)和克拉维乌斯(Clavius)等人承认它是定义，并且基于作圆的方式做了解释；西姆森(Simson)和浦夫莱德勒(Plei-derer)认为它是定理。我认为欧几里得主张它是定义是正确的，并且满足亚里

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士多德(Aristotle)的要求，“定义的话”不只叙述事实，而且应当指明原因。具有相等半径的圆的相等当然可以用重叠来证明，但是我们已经知道，欧几里得尽量避免使用这种方法，并且可以毫无错误地说“所谓等圆就是具有相等半径的圆”。因此不会在《原理》系统中产生任何问题，因为不可能证明在这个定义中断言的两个圆的相等不同于《原理》中基于全等公理断言的其他相等图形的相等。相等圆

的存在（在这个定义的意义上）由相等直线的存在和I.公设3推出

希腊人没有关于半径的独特的词，此处应当是从中心画出的直线。

定义2

A straight line is said to touch a circle which,meeting the circleand being produced,does not cut the circle.

欧几里得在此区分了“相遇”(to meet)与“相切”(to touch),但是在欧几里得之前，一些几何学家有时也有混淆。

定义3

Circles are said to touch one another which,meeting one anoth-er,do not cut one another.

托德亨特(Todhunter)对这个定义有两种看法，一种看法是这两个圆在接触点的附近不相截，并且必须证明在其他地方不相截；另一种看法是这个定义意味着这两个圆根本不相截。托德亨特认为后面这个看法是正确的。我认为这并没有证据，我倾向于这个定义只是说这两个圆相遇在一点，而不是在这一点相截。我认为这个解释是比较可靠的，尽管欧几里得实际上在命题Ⅲ.11一13中假定了两个圆相切于一个点，在其他地方不相交，但是他给我们证明了这个定理的方法。特别地说，他在命题Ⅲ.7,8中给出了关于圆的更多信息，这些可以用来解答欧几里得的未证明的假设。事实上，这些命题并没有使用在卷Ⅲ.后面的定理证明中；Ⅲ.9的第二个证明要求Ⅲ.8，但是海伯格(Heiberg)认为只有第一个证明是真实的。

在Ⅲ.11,12之前欧几里得没有区分外切和内切，尽管Ⅲ.6的图形（原来的正文中没有阐述)只表示内切的情形。但是此处圆的相切定义蕴含着许多关于内切和外切的内容：()一个圆内切于另外一个圆时，在相遇之前必然通过它相切的圆

2

的内点；(b)一个圆外切于另一个圆时，在相遇之前必然通过它相切的圆的外点。事实上，这些都用在与内切和外切有关的地方，Ⅲ.6的证明就用到这些。

定义4

In a circle,straight lines are said to be equally distant from thecentre when the perpendiculars drawn to them from the centre are e-qual.

定义5

And that straight line is said to be at a greater distance on whichthe greater perpendicular falls.

定义6

A segment of a circle is the figure contained by a straight lineand a circumference of a circle.

定义7

An angle of a segment is that contained by a straight line and acircumference of a circle.

这个定义只有历史意义。由直线和圆周形成的弓形的角是普罗克洛斯(Proclus)所说的“混合”型的角。一个特殊的这种类型的角是所谓的“半圆角”，我们将在Ⅲ.16中再次遇到它，以及所谓的“牛角形的角”，即圆的切线与圆本身之间的角。“半圆角”曾经出现在帕普斯(Pappus)的著作中。海伦(Hero)没有给出弓形角的定义，并且欧几里得提及它以及半圆角是从早期教科书中幸存下来的（参考Ⅲ.16的注）。

然而，我们在上面关于I.5的注释中看到弓形角在欧几里得时代之前在几

何证明中所起的作用。在亚里士多德的一段话中，定理I.5出现在欧几里得时

代之前的教科书中，用任一弓形的两个角相等来证明。后面这个性质被认为比

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定理I.5更初等；事实上，欧几里得给出的这个定义蕴含着同样的事情，因而只

说到一个“弓形角”，即“由一条直线与一段圆弧所夹的角”。欧几里得在此处没有实际上使用这个“角”，但是不必打破传统，把这个定义去掉。

定义8

An angle in a segment is the angle which,when a point is takenon the circumference of the segment and straight lines are joinedfrom it to the extremities of the straight line which is the base of thesegment,is contained by the straight lines so joined.

定义9

And when the straight lines containing the angle cut off a circ-umference,the angle is said to stand upon that.

定义10

A sector of a circle is the figure which,when an angle is con-structed at the centre of the circle,is contained by the straight linescontaining the angle and the circumference cut off by them.

一个注释者说，修鞋匠的刀子提示了扇形的名字。

比欧几里得的定义更广义的扇形定义出现在希腊的注释者和安那里兹(an-Nairizi)的著作中。“有两种不同的扇形：一种是角的顶点在中心，另一种是角的顶点在圆周上。还有另外的顶点既不在圆周也不在中心，而是在某个另外的点，称为拟扇形(sector-like figures)。”海伦给出了这个解释。由一段圆弧和从它的端点画出的两条交于任一点的直线围成的拟扇形出现在欧几里得的书《图形的分割》中，写这个专著的目的是分割三角形、梯形、四边形和圆等图形为相等的部分或者给定比。例如，用过一条边上给定点的直线分三角形为相等的两部分。

其中命题28中出现拟扇形，用一条直线分这个图形为相等的两部分。其

解答是康托(Cantor)给出的(Gesch.d.Math.I3,Pp.287一8)o

若ABCD是给定的图形，E是BD的中点，EC与BD成直角，显然，折线AEC

平分这个图形。

连接AC,作EF平行于它并交AB于F。

连接CF,可以看出CF分这个图形为两个相等的部分。

定义11

Similar segments of circles are those which admit equal angles,or in which the angles are equal to one another.

德·摩根(De Morgan)说在“相似弓形”(similar segments)中的相似(similar)的使用是在预料之中，并且它就是图形的相似。他说这个定义是一个定理，若“相似”采用后面的含义。

命题

命题1

求给定圆的圆心。

设ABC是所给定的圆，要求找出圆ABC的圆心。

任意作弦AB,点D二等分它。

由点D作DC和AB成直角，且设DC经过点E,将CE

二等分于F。

我断言F就是已知圆ABC的圆心。

因为假设F不是圆心，则可设G是圆心，连接GA,GD,

D

GB。那么，因为AD等于DB,且DG公用，两边AD,DG分

E

别等于两边BD,DG。

又底GA等于底GB,因为它们都是半径。

所以，角ADG等于角GDB。

[I.8]

但是，当一条直线和另一条直线所成的邻角彼此相等时，它们每一个都是直角；

[I.定义10]

5

所以角GDB是直角。

但是，角FDB也是直角，所以角FDB等于角GDB,大的等于小的：这是不可

能的。

所以，G不是圆ABC的圆心。

类似地，我们可以证明除F以外，圆心也不可能是任何其他的点。所以，点

F是圆ABC的圆心。

推论由此可知，如果在一个圆内，一条直线把一条弦截成相等的两部分且交成直角，则这个圆的圆心在该直线上。

证完

托德亨特注意到在作图中所说的DC延长到E,假定了D是在圆内，欧几里

得在Ⅲ.2中证明了这个理论。尽管不必假定D在圆内，但是对后续的作图是

很有必要的，即过D作直线与AB成直角将交这个圆于两个点。

因此，要说一下德·摩根建议的另一个方法。德·摩根首先证明了基本定理：“垂直地平分一条弦的直线必然

包含中心。”而后从它直接推出Ⅲ.1、Ⅲ.25和V.5。这个

基本定理是下述定理的直接推论：若P是到A和B距离相

等的任一点，则P在垂直平分AB的直线上。其次取给定

圆的任意两个弦AB,AC,并且作D0,E0垂直地平分它们。

除非BA,AC在一条直线上，直线DO,EO必然交于某点O(见V.5的注证明这

个)。又因为D0和E0都包含中心，所以O必然是中心。

这个方法比欧几里得的方法更好，具有下述优点：为了求一个圆的中心，只要知道圆周上的三个点就已足够。因此，若两个圆具有三个公共点，则它们必然有相同的中心和半径，两个不完全重合的圆不可能有三个公共点。又正如德·摩根指出的，这个作图使我们：(1)只要给出一个弓形或一段弧，就能作出

整个圆[Ⅲ.25]；(2)能外接一个圆于任意三角形(IV.5)。

但是，若希腊人使用这个作图法来求一个圆的圆心，则他们必须考虑增加

一个证明。证明没有其他这样得到的点是圆心，显然既可以从Ⅲ.1中的类似反证法的方法证明，也可以从Ⅲ.9证明，即若在圆内有一个点，从它到圆周有三条直线相等，则这一点必然是圆心。事实上，这个证明等于说两条垂直平分线不可能多于一个的公共点。

即使在德·摩根的方法中，也有未证明的假定。为了使D0,E0相交，AB,

AC必须不在一条直线上，或者说，BC不通过A。这个结果来自Ⅲ.2，因而，严格

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···试读结束···