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吉林大学数学院432统计学[专业硕士]历年考研真题及详解试读：

2012吉林大学432统计[专业硕士]考研真题

2012吉林大学432统计[专业硕士]研究生入学考试真题及详细说明

1.(25分)一个复杂的系统由100个相互独立的部件组成，部件在整个运行过程中损坏的概率为0.10。为使整个系统起作用，至少要有85个部件正常工作，要求整个系统起作用的概率。（Ф（1.67））＝0.9225；Ф（0.6）＝0.7257；Ф（0.33）＝0.6293）

解决方案:每个部件正常工作的概率由问题的意思可知0.9，总样本数n＝100，用X表示正常工作的部件的数量，X～B（100，0.9），整个系统工作的概率是P（X≥85）。np＝90＞5且n（1－p）＝9＞5，根据棣莫弗-可以看出拉普拉斯中心的极限定理，

因此，整个系统起作用的概率如下：

2、（25分）

1根据统计物理学，分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）其概率密度为分布

其中b＝m/（2kT），k为Boltzmann常数，T绝对温度，m是分子的质量，试着确定常数A。

解：根据概率密度函数的性质：

解得

又b＝m/（2kT），故

21875年，英格兰研究了英格兰～1951年间，矿山上发生10人或10人以上死亡事故的频率，得知两起事故相继发生T(日计)服从指数分布，其概率密度为:

求分布函数F（t），并求概率P{50＜T＜100}。T

解：当t＞0时

当t≤0时，F（t）＝0。T

因此，分布函数是

3、(25分)设置电子设备的使用寿命(以小时计)T服从双参数指数分布的概率密度为

其中c，θ（c，θ≥0）为未知参数。从一批此类设备中随机抽取。n对零件进行寿命试验，将其故障时间依次设置为x≤x≤……≤x。12n（1）求θ与c最大的似然估计；(2)求θ与c的矩估计。

解:(1)似乎函数是

两边求对数得到对数似然函数为：

因为lnL（θ，c）关于c单调递增，而当x＞c时L＞0，当x＜c时11∧L＝0，所以c＝x是唯一使L达到最大的c值，即c的MLE。将lnL（θ，L1＿c）对θ求偏导并使其等于0，得到－nθ＋nx－nc＝0，因为似然函数∧*是指数族的形式，而且θ属于自然参数空间Θ＝{θ：θ≥0}＝[0，∞）的L∧＿内点集，故θ极大似乎估计为θ＝x－x。L1（2）222

因为DT＝ET－（ET）＝θ，所以θ和c估计为：2

4、(25分)设从均值μ，方差为σ＞0一般来说，容容分别抽取＿＿量为η，η两个独立样本，X和X分别是两样本的均值。试证：对1212＿＿任意常数a，b（a＋b＝1），Y＝aX＋bX都是μ常12数的无偏估计和确定a，b使Y的方差Var（Y）达到最小。

解：从题意可知，＿

同理E（X）＝μ，所以有：2＿＿＿＿

E（Y）＝E（aX＋bX）＝aE（X）＋bE（X）＝aμ＋bμ＝（a1212＋b）μ＝μ＿＿

所以，任意常数a，b（a＋b＝1），Y＝aX＋bX都是μ无偏12估计。

因为两个样本相互独立，所以：

当a＝n/（n＋n），b＝n/（n＋n）时，Var（Y）达到最小值。112212

5、(25分)随机选择8人，分别测量他们早上起床和晚上睡觉时的身高（cm），获取以下数据。

设置各对数据的差异D＝X－Y（i＝1，2，……，8）来自正态整体iii22（μ，σ）的样本，μ，σ都不知道，问能不能认为早上的身高应该是DDDD比晚上高？α＝0.05，t（7）＝1.8946）0.05

解:整理数据得到下表:

第一步：提出假设：H：μ≤0；H：μ＞00D0D＿

第二步：计算D均值和方差：D＝（0＋1＋3＋2＋1＋2－1＋2）/8＝1.25

第三步：结构检验统计

第四步:原假设成立时，根据样本数据计算检验统计值T＝2.76；

第五步:做决定:当α＝0.05时，t＝1.8946，因为T＝2.760.05＞1.8946，所以拒绝原假设，认为早上的身高比晚上高。

6、(25分)假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为

y＝βx＋ε，i＝1，…，niii2

E（ε）＝0，Var（ε）＝σ，观察者相互独立。ii2（1）写出β，σ估计最小二乘；∧(2)给定x，相应的变量平均值估计为y，求Va00∧r（y）。0∧∧22

解:(1)根据最小二乘法制作∑（y－y）＝∑（y－βx）最小。iiii∧2令Q＝∑（y－y）根据微积分的极值定理，对Q求相应于β的偏导数，ii∧并将其等于0，然后就可以找β，即

由于随机项ε不可观察，只能从ε估计-残差e从整体出发iii22方差σ估计σ的OLS为∧∧(2)给定x，相应的变量平均值估计为y，y的方差000为：

用最小的二乘法计算

试读结束[注：试读内容隐藏图片]

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