《H－空间与相补问题》郭伟平编著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《H－空间与相补问题》

【作　者】郭伟平编著

【页 数】 160

【出版社】 哈尔滨：黑龙江科学技术出版社 , 2003.06

【ISBN号】7-5388-4383-3

【价 格】9.00

【分 类】H空间-空间

【参考文献】 郭伟平编著. H－空间与相补问题. 哈尔滨：黑龙江科学技术出版社, 2003.06.

图书目录：

《H－空间与相补问题》内容提要：

江苏省教育厅高校科研基金资助项目(OOKJB11007):本书系统地介绍了H－空间中的变分理论与Banach空间中的相补问题和隐补问题，涉及H－空间中的KKM定理，截口定理、重合定理等内容。

《H－空间与相补问题》内容试读

第一章H-空间

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第一章H-空间

自1988年，C.Bardaro,R.Ceppitelli引人H-空间的概念以

来，关于H-空间上的变分不等式理论的研究工作已取得了许多

重要结果.本章将介绍著名的KKM定理，FKKM定理以及在H-

空间中的推广，还将介绍在H-空间中建立的截口定理、重合定

理、相交定理及其在变分不等式中的应用.这些结果在相补问题中也有重要应用.

§1.1KKM定理

设平面上一个三角形△，分别以其项点x0,x1,x2为中心作三个圆

Mo,M1和M2,使得三角形△的边

Mo

zizCM;UM,(i,j=0,1,2,i

且三角形△CMUM1UM2,则易

证M,至少含有三角形△的一个

点，如图1.1.

M

这个几何问题，实际上包含着关于单形的一个深刻性质，这一性质在

图1.1

1929年由波兰数学家Knaster,Kura-

towski和Mazurkiewicz所揭示，这就是以后被称之为著名的

KKM定理2

定理1.1.1(KKM定理)设E是Hausdorff拓扑线性空间，SCE为(n-1)一维单形，设e1,e2,…,e,为S的顶点，M1,M2,

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H-空间与相补问题

…,M,为E中的n个闭集.如果对S的任意一组顶点(e,e,…,e)(1≤k≤n)有

coe,64…,41C9M

(1.1)

则存在点x∈S,使得

x∈0M

证明因S为(n-1)一维子集，故其包含于E的某一(n-1)一维子空间中，因而不妨设E本身是(n-1)一维Hausdorff拓扑线性空间.又因(n-1)一维Hausdorff拓扑线性空间必与空间

R"线性拓扑同构，故不失一般性，可设E=R”-1

设定理的结论不真，因而

sn(AM)=0

于是对于任意x∈S,必有io:l≤io≤n,使得x足M,·因M,闭，故

d(x,Mn）=infld(x,y):y∈Mn}>0

对每一x∈S及每一i,i=1,2,…,n,令

d;(x)=d(x,M:)=infld(x,y):yE M;

并记d(x)=之d(x),于是d:S→(0，+∞)，再令

f(z)-a)(d.(z)a).VzE5

于是f:S→S是连续映象，由Brouwer不动点定理知存在x∈S,使得

五=f回=aa24(@a)

(1.2)

现在对每一i=1,2,…,n,记U,=S\M,故U是S中的开集，且

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H-空间与相补问题

…,n,p(x)

盾，因而G是KKM映象，

(2)最佳逼近问题.设E是一线性赋范空间，CCE是一凸

集；设f:C→E是一映象，对每一x∈C,令

G(x)={y∈C:If(y)-y‖≤lf(y)-xI}则G:C→2c是KKM映象

事实上，若G不是KKM映象，则存在某一有限集{x1,x2,…,xn}CC,使得

cox1,x2,…,x}9G(x)

故存在某-%∈co1,x2,…,x,%=2入西，其中入≥0，i=1,2,…,n,2=1,而%9G(x).于是，对每-i=1,2,…,n有

‖f(o)-yo‖>1f(o)-x‖

因而对每一i=1,2,…,n有

x:∈B={x∈E:‖f(xo)-x‖<‖f(o)-‖}因为B是凸集，于是o∈B,这表明‖f(y)-yo‖<‖f(y%)-yo‖矛盾.

(3)变分不等式问题.设H是Hilbert空间，CCH为凸子集f:C→H,对每一x∈C,令

G(x)={y∈C:(fy),y-x)≤0l

仿上可证G:C→2C是KKM映象，

下面将给出KKM定理的推广，为此先证如下结果：

定理1.1.2设E是一线性空间，XCE是非空子集，G:X→

2E是KKM映象，且Hx∈X,G(x)是有限闭的（即G(x)与E的任意有限维子空间L的交L∩G(x),按L中的Euclid拓扑是闭的)，则集合族{G(x):x∈X}具有有限交性质.

证明用反证法，设存在某一有限集{x1,x2,…,xn}CX,使得

第一章H-空间

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AG(z)=0

(1.4)

令

L=spanx1,x2,…,xn},C=co{x1,x2,…,xn}则CCL.设d表L上的Euclid度量，由假定条件，对每一i=l,2,…,n,L∩G(x:)为L中的闭集，故

d(x,L∩G(x:)=0台x∈L∩G(x:)

由(1.4)式可知1(L∩G(x)=0.

现定义函数λ：C→[0，+∞)如下：

a(e)=2d(c,Lnc(》,Vc∈c

显然对每一c∈C,λ(c)>0.事实上，如果对某一c∈C有λ(c)=0,则c∈0(L∩G(x),这与前面所得结论相矛盾.一方面令f:

C→C如下：

f(c)=a(d(cG())

则f连续.再由Brouwer不动点定理知存在x∈CCL,使得c=f(c),记

I={i∈11,2，…，n}:d(c,L∩G(x)≠0}

则对每一i∈I,c足L∩G(x:),从而c足G(x:),因此

UG(x)

(1.5)

另一方面，由G为KKM映象，于是

d=fo=d会dc,LnG(x)

=aac,Lnc(x)x)emaie1Cs(x)

这与(1.5)式矛盾，定理得证，

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H-空间与相补问题

作为定理1.1.2的直接结果，我们给出KyFan关于有限维

KKM定理的无穷维推广(3)

定理1.1.3(FKKM定理)设E是Hausdorff拓扑线性空间，X为E中的非空子集；设G:X→2E为KKM映象，Hx∈X,

G(x)为E中闭集，且至少存在一点x∈X,使得G(xo)是E中

的紧集，则QxC(x)≠0.

证明Hx∈X,令G(x)=G(x)∩G(xo),则{G(x):x∈

X}是G(xo)中闭集族，因而Hx∈X,G(x)是有限闭的.由定理

1.1.2知{G(x):x∈X}具有有限交性质，于是由紧集的性质知

QC(x)≠0，从而有

QG(x）=Qx(c()nc(zx)=Qc(x)≠0

1981年Gwinner对定理1.1.3作了如下推广.

定理1.1.4设E是Hausdorff拓扑线性空间，XCE为一闭

集，G:X→2E是KKM映象，且满足下列条件：

(1)Hx∈X,G(x)是有限闭的；

(2)存在xo∈X,使得G(xo)是E中的紧集合；

(3)对任意包含xo的有限维截口D=X∩F(其中F是E中任意包含x。的有限维子空间)，有

AG()nD=(AG())nD

则QG(x)≠0

证明当E为有限维空间时，因对每一x∈X,G(x)为E中闭集，故条件(3)总是满足的，于是定理的结论由定理1.1.3得知.因此，下面不妨设E为无穷维空间，并记E中包含x的全体有限

维子空间的集合为{E。}.现在{E。}中按下面的方式定义

半序

a≥BECE。

···试读结束···