《数学》暨南大学华文学院预科部编|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《数学》

【作　者】暨南大学华文学院预科部编

【丛书名】大学预科系列教材

【页 数】 306

【出版社】 广州：暨南大学出版社 , 2010.08

【ISBN号】978-7-81135-551-2

【价 格】58.00

【分 类】数学课-高中-教材

【参考文献】 暨南大学华文学院预科部编. 数学. 广州：暨南大学出版社, 2010.08.

图书封面：

《数学》内容提要：

本教材的内容有微积分和概率统计两部分，其中涉及到的都是一些基础知识；在表述形式上，力求简明扼要，深入浅出，并注重展现知识的来龙去脉，注重揭示知识中所蕴含的数学思想方法，注重数学理论的实际应用。

《数学》内容试读

第一章函数

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则以变量为研究对象.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系.本章将介绍集合、映射、函数、初等函数等基本概念以及它们的一些基本性质，

第一节集合

一、集合的概念

集合是数学中的一个基本概念，“集合”一词与我们日常熟悉的“整体”“一类”“一群”等词语的意义相近.'例如“物理书的全体”“地球上的人的全体”“实数的全体”等都可以分别看成一些“对象”的集合，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大写英语字母A,B,C,…表示，它们的元素通常用小写英语字母a,b,c,…表示.如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a生A.含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫

1

做无限集；不含有任何元素的集合叫做空集，记作中.

集合有如下特性：

(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的.这就是说不能确定的对象就不能构成集合.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了，

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是互不相同的（或说是互异的）.这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素，

(3)无序性：对于一个集合，通常不考虑它的元素之间的顺序，两个集合只要它们的元素全相同，就是同一个集合

我们约定，用某些大写英语字母表示常用的一些数集：

全体非负整数组成的集合，叫做自然数集（或非负整数集），记作N,即

N={0,1,2,3,…,n,…}

在自然数内排除0的集合，叫做正整数集，记作N·或N,,即

大学预科数学

N=N,={1,2,3,…,n,…}:

全体整数组成的集合，叫做整数集，记作Z,即

Z={,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}:

全体有理数组成的集合，叫做有理数集，记作Q,即

Q={日|pe乙，9eN.且p与9互质}

全体实数组成的集合，叫做实数集，记作R,全体正实数组成的集合记为R+,

表示集合的方法通常有以下两种：

一种是列举法，就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集

合的方法.例如，由元素1,2,3,4,5组成的集合A,可以表示成

A={1,2,3,4,5}

另一种是描述法，就是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.若集合A是由集合

I中具有性质p(x)的所有元素构成的，就表示成

2

A ixellp(x).

例如，集合B是方程x2-3x-2=0的解集，就可以表示成

B={x∈Rx2-3x-2=0}.

在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值，“∈R”

常常省略不写.上述集合B可以写成

B={xx2-3x-2=0}

有时也用维恩(Venn)图表示集合.用平面内一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩(Venn)图.如图1-1所示表示集合A.例1用列举法表示下列集合：

(1){不大于5的自然数：

图1-1

(2){xx2-2x-8<0,x∈Z;

(3){(x,y)x+2y=7,x,y∈N*

第一章函数

解：(1){0,1,2,3,4,5}：

(2){x-2

(3){(1,3),(3,2),(5,1)}例2用描述法表示下列集合：

(1)所有10的整数次幂；

(2){1,-3,5,-7,9,-11,…

解：(1){xx=10",neZ}:

(2)[xx=(-1)n+1(2n-1),neN*.

二、集合之间的关系与运算

1.集合之间的关系

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做

集合B的子集，记作ACB或B2A,读作“A包含于B”或“B包含A”.

按照上述定义，任意一个集合A都是它本身的子集，即A二A,

我们规定空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A,都有中二A.

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A,那么集合A

叫做集合B的真子集，记作

AB(或B吴A),

读作“A真包含于B”或“B真包含A”，用图形表示如图1-2所示

例如，集合A={1,2},B={1,2,3,4},由观察可知，集合A是集

合B的子集，但3∈B,3EA,所以集合A是集合B的真子集，即A手B.

根据子集、真子集的定义可推知：

对于集合A,B,C,如果A二B,B二C,则A二C;

图1-2

3

对于集合A,B,C,如果AB,B军C,则AC.

一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素

都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B,记作

A B.

例如，集合A={1,2},B={xx2-3x+2=0},则A=B.由相等的定义，可得：

如果ACB,同时B二A,则A=B;反之，如果A=B,则A二B且B二A,

例3写出集合{0,1,2}的所有子集及真子集.

解：集合{0,1,2}的所有子集是中，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2；

集合{0,1,2}的所有真子集是中，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2例4说出下列每对集合之间的关系：

(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5;

(2)P={xx2=1},Q={xix=1}:

(3)C={xx是奇数}，D={xx是整数}

大学预科数学

解：(1)A子B;

(2)P=Q:

(3)CD.

例5用适当的符号（∈，，=，军，）填空：

(1)0中；

(2)0{0};

(3)Φ{0}；

(4)a{a};

(5)Φ{a,b};

(6)ZUN

N;

(7)QUZ R;(8)QnzN;

(9)AUB B.

解：(1)庄；(2)∈；(3)；(4)∈；(5)；(6)柔；（7)；(8)吴；

(9)吴.

2.集合的运算

过去我们只对数或式进行算术运算或代数运算，这里集合运算的含义是，由两个已知的集合，按照某种指定的法则，构造出一个新的集合.集合的基本运算有以下几种：交集、并集和补集，

对于两个给定的集合A,B,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫

做集合A与集合B的交集，记作A∩B,读作“A交B”,即

AnB={xx∈A且x∈B}

例如，{1,2,3,4,5}∩{3,4,5,6,8}={3,4,5

集合A与集合B的交集，可用如图1一3所示的阴影部分表示。

4BB

例6求下列每对集合的交集：

(1)A={xx2+2x-3=0},B={xx2-x-12=0};

(2)C={2,5,7,9},D=3,6,8,10,12

图1-3

解：(1)AnB={1,-3}∩{-3,4}={-3}；

4

(2)CnD=中.

例7设集合A={x|-1≤x≤1}，B={xx>0},求A∩B.解：A∩B={x|-1≤x≤1}∩{xx>0}={x|0

例8设集合A={xx是奇数}，B={xx是偶数}，Z={xx是整数}，求A∩Z,B∩

Z,A∩B.

解：A∩Z={x是奇数}∩{xx是整数}={xx是奇数}=A,

B∩Z={xx是偶数}∩{xx是整数}={xx是偶数}=B,

A∩B={xx是奇数}∩{xx是偶数}=中.

一般地，对于两个给定的集合A,B,把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做集

合A与集合B的并集，记作AUB,读作“A并B”,即

AUB={xx∈A或x∈B}

例如，{2,4}U{5,6,8}={2,4,5,6,8},{1,3,5}U

{2,3,4,6,7}={1,2,3,4,5,6,7}

集合A与集合B的并集，可用如图1-4(1)或(2)中

(1

(2)

的阴影部分表示.

图1-4

第一章函数

例9已知集合Q={xx是有理数}，Z={xx是整数}，求QUZ.解：QUZ={xx是有理数}U{xx是整数}={xx是有理数}=Q.例10设集合A={x-1

={x-1

在研究集合与集合之间的关系时，这些集合常常都是一个给定的集合的子集，这个给定

的集合叫做全集，用符号U表示。

如果集合A是全集U的一个子集（即A二U),由全集U中不属于集合A的所有元素组成

的集合，叫做集合A在U中的补集，记作CA,读作“A在U中的补集”，即

CuA={xxeU且xEA}

集合A在全集U中的补集，可以用如图1-5所示的阴影部分表示.

集合的并集、交集、补集运算满足下列法则：

若A,B,C为集合，则

A

(1)等幂律：AUA=A,A∩A=A;

(2)交换律：AUB=BUA,A∩B=B∩A;

图1-5

(3)结合律：(AUB)UC=AU(BUC),

(A∩B)nC=An(B∩C);

(4)分配律：(AUB)∩C=(A∩C)U(BnC),

(AnB)UC=(AUC)n(BUC);

(5)De Morgen:Co(AUB)=(CA)n(CB),Co(AnB)=(CoA)U(CoB).

例11已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,83,A={1,3,5,7,求C4,An(C4),5

A U (CA).

解：CuA={2,4,6,8},An(C4)=中，AU(CuA)={1,2,3,4,5,6,7,8}=U.例12已知集合U={xx是实数}，Q={xx是有理数，求CQ.解：CQ={xx是无理数

例13设集合U={xx≤8，xeN,A={3,4,5},B={4,7,8},求CuA,CB,

(CA)nB,AU(CB),Co(AUB).

解：U={1,2,3,4,5,6,7,8},则

CA={1,2,6,7,8,CB={1,2,3,5,6},

(CuA)nB={1,2,3,4,5,6,7,8,AU(CuB)={1,2,3,4,5,6

又AUB={3,4,5,7,8},则

C(AUB)={1,2,6

例14设方程x2-px+15=0的解集为A,方程x2-5x+q=0的解集为B,当AUB={2,3,5},AnB={3}时，求集合A和B以及实数p和q的值.

解：由A∩B={3},可知3是两个方程的公共根，所以

32-3p+15=0,

32-5×3+q=0.

大学预科数学

得

∫P=8,

lq=6.

解方程x2-8x+15=0,得x1=3,x2=5;解方程x2-5x+6=0,得x1=3,x2=2.

∴.A={3,5},B={2,3

三、区间

设a,b是两个实数，并且a

(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记作[a,b][见图1-6(1)]，即

[a,b]={xa≤x≤b}:

(2)满足不等式a

(a,b)={xa

(3)满足不等式a≤x

[a,b)={xa≤x

6

(a,b]={xa

(1

(2)

(3)

(4)

(6)

(7)

(8)

图1-6

全体实数的集合R表示为(-0，+∞)，“0”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无

穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.我们可以把满足x≥a,x>a,x≤b,x

(8)].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心圆点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心圆点表示，

···试读结束···