《有限单元法及应用》赵冬，张卫喜，毛筱霏编著|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《有限单元法及应用》

【作　者】赵冬，张卫喜，毛筱霏编著

【丛书名】高等教育土木类专业系列教材

【页 数】 182

【出版社】 重庆：重庆大学出版社 , 2022.08

【ISBN号】978-7-5689-3214-1

【价 格】39.00

【分 类】有限元法-高等学校-教材

【参考文献】 赵冬，张卫喜，毛筱霏编著. 有限单元法及应用. 重庆：重庆大学出版社, 2022.08.

图书封面：

图书目录：

《有限单元法及应用》内容提要：

本书主要介绍有限单元法的基本理论、格式与求解方法，包括平面、三维应力、等参数单元，以及杆系结构单元、薄板和薄壳问题。另外，也简要介绍了有限元动力分析，并在附录中介绍了作为有限元理论基础的插值函数、变分和能量原理等。本书可作为土木、水利、力学类专业本科教材，也可作为研究生、工程技术人员学习有限单元法的参考用书。

《有限单元法及应用》内容试读

1

绪论

1.1引言

在工程结构分析中，有限元方法已成为数值求解的强有力工具，所涉及的领域从土木工程、机械、航空航天等传统固体力学领域的变形和应力分析，到热流、磁通量、渗流等流动问题的场分析。随着计算机技术和计算机辅助工程技术的发展，可以较为便捷地对许多复杂问题进行建模分析，使结构分析发生了质的飞跃。

从应用数学的角度考虑，有限单元法的基本思想可以追潮到应用数学家（如R.Courant)、物理学家(J.L.Synge)和工程师(J.H.Argyris和S.Kelsey等)。其中R.Courant(1943)首先尝试应用在一系列三角形区域定义的分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。此后，不少应用数学家、物理学家和工程师分别从不同角度对有限元法的离散理论、方法及应用进行了研究。M.J.Turner,RayW.Clough(1956)等人将刚架分析中的位移法推广到弹性理论平面问题，并用于飞机结构的分析。他们首次给出了用三角形单元求解平面应力问题的正确解答。三角形单元的特性刚度矩阵和结构的求解方程是由弹性理论的方程通过直接刚度法确定的。他们的研究工作开启了利用电子计算机求解复杂弹性理论问题的新阶段。1960年RayW.Clough进一步求解了平面弹性问题，并第一次提出来“Finite Element

Method(有限单元法)”的名词，使人们更清楚地认识到有限单元法的特性和作用。

解决实际工程问题的有限元法的发展始于数字计算机的出现，换言之，数字计算机的使用实现了有限元法的实用性和普遍适用性。随着计算科学和技术的快速发展，有限元法的通用性和有效性愈加突出，受到了工程技术界的高度重视。近40年来，随着与计算机科学与技

·1·

·口有限单元法及应用·

术的深度融合，有限元法在理论及方法的研究、计算机程序的开发及应用领域的开拓等方面均取得了根本性的发展，已成为当今工程结构分析中应用最广泛的数值计算方法，也成为计

算机辅助设计(CAD)、计算机辅助工程(CAE)和计算机辅助制造(CAM)的重要组成部分。

对于工程结构的分析，作为一种求解微分方程（组）定解问题的数值方法，有限元法以弹性理论的研究方法和基本方程作为基础。

1.2弹性分析的数值解法

勒夫(A.E.H.Love)(1944)在其经典著作《A Treatise on the Mathematical Theory of

Elasticity》中首先指出：“数学弹性理论致力于研究某一受平衡力系作用或处于轻微的内部相对运动状态下的固体，试图把它的内部应变或相对位移纳入计算，并努力为建筑、工程以及所有构造材料为固体的工艺方面，求得实用上重要的结果。”这似乎已经成为弹性理论的一个标准定义。

弹性理论对于应力、应变和位移这些物理量，通过几何学、物理学和静力学的分析，建立了这些变量需要满足的弹性域内控制方程（一般表达式多为偏微分方程组的形式），根据弹性域所受外力与边界约束状况确定问题的定解条件。

而其求解方法可大致分为两大类：其一，对于各类给定的问题，求解上述控制方程，得到各个物理量在弹性域内的连续函数解，即解析解（精确解），这类方法称为解析解法。然而，虽经数学、力学工作者长期的努力，也只是对少数几何形状规则、荷载与边界比较简单的问题得到了解答。对于多数问题，尤其是在工程实际问题中，当弹性域或者边界条件较为复杂时，通常难以得到解答。其二，为此，对已建立的微分方程需要寻求近似解法一数值解法。

在弹性力学问题中，变分法是被广泛应用的数值解法之一。

变分法是将待求函数应满足的一定的微分方程和定解条件这样的提法变为待求函数是

一定的泛函（函数的函数）的极值函数，也就是说，令泛函取极值的函数就是微分方程的解。用这种方法寻求近似解，首先要针对给定问题推导出相应的泛函，泛函一般表达式为求解区域内的定积分形式：然后设出待求函数（在泛函中包含的函数）的试探函数，试探函数中包含已知的函数系列和系列中每个待求系数：把试探函数代入泛函，对其中的已知函数进行运算后，泛函中未定的也只有各个待定系数，泛函也就变成了待求系数的多变量函数了，泛函的极值问题就变成了函数的极值问题：利用多变量函数求极值点的条件可以推导出求待定函数的代数方程组。

变分法在弹性力学问题求解中曾成功得到了应用，但因其对工程中几何形状和边界条件较为复杂的各种问题仍难以得到解答，因而未能在工程问题中得到广泛应用。自20世纪70年代以来，依托电子计算机的高速发展和普及而迅速发展的有限单元法，则很好地弥补了上述方法的缺陷，极大地推动了数值计算的应用。

图1.1给出了弹性分析的主要方法。

·2·

·1绪论口·

弹性分析方法

解析法

数值法

微分方程法

有限单元法

差分法

数值积分

位移法

混合法

力法

图1.1结构分析常用方法

1.3有限单元法基本概念

从选择基本未知量的角度可分为3类：位移法、力法和混合法，其中以位移法应用较为广泛。本书着重介绍基于弹性理论的以位移为未知量的有限单元法的基本理论，及其在结构分析中的初步应用。

这里先介绍经典的变分问题近似解法一里兹法。里兹法是先假设未知解为带有未知参数的已知函数（试函数）。代入泛函表达式后得到由未知参数来表示的泛函。应用变分原理，根据泛函的极值条件，得到n个线性代数方程。解出未知参数，也就得到了问题的近似解答。这种方法可以说是通过对函数的“离散”而得到方程组的。它的困难在于所试选函数必须满足整个区域的边界条件，这在一般情况下是十分困难的，有时甚至是难以做到的。

有限单元法的基本思想，就是对求解的弹性域进行离散化，即将具有无限多个自由度的连续体，化为有限多个自由度的结构体系。具体来说，就是将具有无限自由度的整个弹性域用有限多个、有限大小（微小）且相互之间仅在有限多个点处连接的一系列区域的集合体来替代

结点

(图1.2)。这些微小的区域称作单元，各单元间相互连接点称作结点。整体结构将以结点位移参数作为基本未

单元

知量（有限自由度）。这一区域剖分的过程称作结构离散

图1.2连续介质的离散过程

化过程，即建立有限元数值分析模型。

其次是考虑单元的平衡。在单元区域内设置一个函数表示任意点位移随位置变化形态，这种假设的试函数称为位移模式，在一般情况下，它应当满足单元之间位移的连续性。按照函数插值理论，将单元内任意点的位移通过一定的函数关系用结点位移参数来表示，即位移插值函数。随后则从分析单元入手，采用能量原理建立单元基本方程。这一过程称作单元分析。

再把所有单元集合起来，进行整体受力分析，得到一组以结点位移参数为基本未知量（自由度)的多元代数方程组，称为结构或求解区域的有限单元法整体分析方程。结合位移边界

·3·

·口有限单元法及应用·

条件即可求解结点位移参数。这一过程称为整体分析。

解出结点位移参数后，可根据单元位移插值函数以及弹性理论基本方程得出弹性域任意点的应变和应力。

将整个弹性域剖分和以有限的结点位移参数为基本未知量是有限单元法的基本构想和分析问题的出发点。

对于实际工程结构的多样性、荷载与边界约束的复杂性，有限单元法解的基本思想就是采用基于能量原理的变分方法将难以求解的弹性理论基本方程中多元偏微分方程组变换为求解多元代数方程组，使得结构分析易于实现。

1.4小位移弹性理论基本方程的矩阵表示

矩阵运算是有限单元法采用的基本方法之一。本节将弹性理论基本方程和边界条件等采用矩阵形式表述。

D1.4.1平衡微分方程

弹性体V域内任一点的平衡微分方程为

0o+rg+r+f=0l

dx dy

a0f=0

证++

(1.1)

+年+密f=0Ox

平衡微分方程用矩阵表示为

Lo=f

(1.2)

式中L,一平衡方程中的微分算子矩阵：

一应力列阵或应力向量；f一体力列阵或体力向量。

「a000001

Ox

L1=0、a0

0

(1.3)

dy

0z

L00dz ay ax

在物体内任一点处，其内力状态可由6个应力分量来定义

4

·1绪论口·

o.

0,

g={0=[a,o,a:787x7]

(1.4)

Ta

f

f==f.f,f.]

(1.5)

J

对于平面问题，平衡微分方程简化为

++人=0

ax ay

dx

+8c+f,=0)

则(1.2)式中

「a001

L1=

ay

0dydx

o.

0=o,}=[0,0,Tn]

Lo.]

f=

1.4.2几何方程

在小变形条件下，弹性体内任一点的应变位移方程为：

6 du

dv

=e,=Ou

dy'

Yo Qu t

=+，

+a,yg=azay,yx三2+

(1.6)

可用矩阵表示为：

8=Lu

(1.7)

式中L—微分算子矩阵；

￡—应变列阵或称为应变向量；

一位移列阵或位移向量。

·5

·☐有限单元法及应用·

a

Ox001

0

ay

00

L=

dz

(1.8)

0

0z

ay

0

0z

Ox

Lay axo!

在物体内的任一点处，其应变状态由6个应变分量来定义：

「e.1

By

e={8:}=[8,s,8,Yn Ya Yo]

(1.9)

Yn

Ya

u

u v0]7

(1.10)

对于平面问题，几何方程可简化为

ou

8:=6=

du

ayYo=ax

(1.11)

ay

则式(1.7)中

e.

1.12

a07

Ox

L=0

(1.13)

ay

品」

6

···试读结束···