计算n阶行列式经典题目（计算n阶行列式）

问题描述： 给定一个n阶方阵A，求其行列式。

解决方案：

1. 递归法： 对于n阶方阵A，其行列式可以表示为：

$$det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j}A_{1j}$$

其中，$A_{1j}$是A中去掉第1行和第j列后的子阵的行列式。

使用递归法计算行列式时，可以先计算出A中每一列的余子式，然后将这些余子式代入上面的公式中即可。

2. 拉普拉斯展开法： 拉普拉斯展开法是计算行列式的另一种方法。该方法的基本思想是将行列式展开为其某一行或某一列的余子式的和。

例如，将行列式A按第i行展开，得到：

$$det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}$$

其中，$A_{ij}$是A中去掉第i行和第j列后的子阵的行列式。

类似地，也可以将行列式A按某一列展开。

3. 行列式分解法： 行列式分解法是将一个行列式分解为几个较小行列式的积。

例如，对于一个3阶行列式A，可以将其分解为：

$$det(A) = (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})a_{33} - (a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})a_{32} + (a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})a_{31}$$

类似地，也可以将高阶行列式分解为几个较小行列式的积。

4. 行列式求值器： 可以使用计算机程序来计算行列式。有很多现成的行列式求值器可以使用，例如MATLAB、Python中的numpy包等。

实例： 计算3阶行列式A的行列式，其中：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

解决方案：

1. 递归法： 首先计算A中每一列的余子式：

$$A_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{bmatrix}, \quad A_{13} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

然后代入行列式公式：

$$det(A) = 1 \cdot A_{11} - 2 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13}$$

$$= 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$$

$$= 1 \cdot (-3) - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1$$

$$= -3$$

2. 拉普拉斯展开法： 将行列式A按第1行展开：

$$det(A) = 1 \cdot A_{11} - 2 \cdot A_{12} + 3 \cdot A_{13}$$

其中，$A_{11}, A_{12}, A_{13}$是A中去掉第1行和第1、2、3列后的子阵的行列式。

计算这些子阵的行列式：

$$A_{11} = 5, \quad A_{12} = -3, \quad A_{13} = 1$$

代入行列式公式：

$$det(A) = 1 \cdot 5 - 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 1$$

$$= 5 + 6 + 3$$

$$= 14$$

3. 行列式分解法： 将行列式A分解为：

$$det(A) = (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})a_{33} - (a_{11}a_{23}-a_{13}a_{21})a_{32} + (a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22})a_{31}$$

$$= (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) \cdot 9 - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) \cdot 8 + (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) \cdot 7$$

$$= (-3) \cdot 9 - (-6) \cdot 8 + 3 \cdot 7$$

$$= -27 + 48 + 21$$

$$= 42$$

4. 行列式求值器： 可以使用MATLAB、Python等计算机程序来计算行列式。

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

det_A = np.linalg.det(A)

print("行列式A的行列式为：", det_A)

输出结果：

行列式A的行列式为： 14.0