洛必达法则例题详解（洛必达法则例题）

洛必达法则例题详解

例题 1：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

解法：

使用洛必达法则，对分子分母求导。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\sin x]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \lim_{x \to 0} \cos x = 1$$

例题 2：

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

解法：

使用洛必达法则，对分子分母求导。

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[e^x - 1]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = \lim_{x \to 0} e^x = 1$$

例题 3：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$$

解法：

使用洛必达法则，对分子分母求导。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\ln(1 + x)]}{\frac{d}{dx}[x]} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1 + x)}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = 1$$

例题 4：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 - 1}$$

解法：

使用洛必达法则，对分子分母求导。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}[x^2 + 1]}{\frac{d}{dx}[2x^2 - 1]} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{4x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

例题 5：

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{\tan x}$$

解法：

使用洛必达法则，对分子分母求导。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[x \sin x]}{\frac{d}{dx}[\tan x]} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x + \sin x}{\sec^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x + \sin x}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos^3 x + \sin x \cos x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} (\cos^2 x + \sin x) = 1$$