图书名称：《智慧天梯现代成功人四步心法》【作者】（台湾）沈智杰著【丛书名】生涯高手书系【页数】279【出版社】北京：九州出版社,2000.10【ISBN号】7-80114-558-5【价格】17.80【分类】成功心理学成功心理学【参考文献】（台湾）沈智杰著.智慧天梯现代成功人四步心法.北京：九州出版社,2000.10.《智慧天梯现代成功人四步心法》内容提要：本书以人生成功的四大法则“糊涂学原理”、“不败法则”、“杠杆妙法”、“不倒翁秘诀”为序，分成功者的素质、领导与被领导、创业发财妙方、创意人生四个部分向读者通俗地阐释了成功的秘诀。...

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图书名称：《中医古籍珍稀抄本精选11原幼心法小儿诸证补遗幼科惊搐门》【作者】（明）彭用光撰；（明）张昶撰；（清）楼拥千撰；段逸山，吉文辉主编【丛书名】中医古籍珍稀抄本精选【页数】431【出版社】上海：上海科学技术出版社,2019.07【ISBN号】978-7-5478-4514-1【价格】4800.00【分类】中国医药学-古籍-汇编【参考文献】（明）彭用光撰；（明）张昶撰；（清）楼拥千撰；段逸山，吉文辉主编.中医古籍珍稀抄本精选11原幼心法小儿诸证补遗幼科惊搐门.上海：上海科学技术出版社,2019.07.图书封面：《中医古籍珍稀抄本精选11原幼心法小儿诸证补遗幼科惊搐门》内容提要：内容提要：本套书共辑录了明清时期中医药古籍精选抄本53种，以临证实用的经论、医案为主，各科皆备，由上海、南京中医药大学医史、文献整理专家予以点校、句读，简体字排版，汇集成20册，以整套、精装本印制。...

2023-12-24

图书名称：《原幼心法》【作者】（明）彭用光撰；王海丽点校；（明）张昶撰；段逸山点校，（清）楼拥千撰；孙孝忠点校【丛书名】中医古籍珍稀抄本精选【页数】272【出版社】上海：上海科学技术出版社,2004.02【ISBN号】7-5323-7255-3【价格】30.00【分类】中医儿科学-医案-中国-明清时代【参考文献】（明）彭用光撰；王海丽点校；（明）张昶撰；段逸山点校，（清）楼拥千撰；孙孝忠点校.原幼心法.上海：上海科学技术出版社,2004.02.《原幼心法》内容提要：本书由３部分组成。《原幼心法》共３卷，上卷主要论述孕产及小儿养护所应注意的问题，中卷及下卷将小儿病分成２７门，分别论述病因病机、四诊用药等，并附有图谱。《小心诸证补遗》１卷，详细阐述小儿胎塞胎热等常见病证的主症、病源、治法、方药，共１５种。《幼科惊搐门》将惊搐一证分为本症、兼症、余症、类症，分类缜密，先论后方，方后附药。...

2023-12-24

图书名称：《我们学校的策略库》【作者】李振山主编【丛书名】教师学习与发展共同休（LDC）国际合作项目系列·东胜丛书【页数】154【出版社】北京：光明日报出版社,2009.07【ISBN号】978-7-80206-933-6【价格】66.00（全3册）【分类】中小学-教学研究-文集【参考文献】李振山主编.我们学校的策略库.北京：光明日报出版社,2009.07.《我们学校的策略库》内容提要：...

2023-12-21 epub mobi azw3哪个好 epub mobi pdf区别

图书名称：《复旦新闻与传播学译库国际传播沿袭与流变第3版》【作者】（英）达雅·基山·屠苏著；胡春阳，姚朵仪译【丛书名】复旦新闻与传播学译库【页数】360【出版社】上海：复旦大学出版社,2022.01【ISBN号】978-7-309-15953-0【价格】68.00【参考文献】（英）达雅·基山·屠苏著；胡春阳，姚朵仪译.复旦新闻与传播学译库国际传播沿袭与流变第3版.上海：复旦大学出版社,2022.01.图书封面：《复旦新闻与传播学译库国际传播沿袭与流变第3版》内容提要：呼应时代趋势，国际传播学渐成显学。然而，无论学界或业界，无论从事国际传播的研究或实务，都需要一张宏阔的认知地图来确立边界，指引方向。对此需求，没有比阅读屠苏教授的力作《国际传播：沿袭与流变》更合适的选择了。过去20年，该著作已经风靡全球。每隔10年，屠苏教授都会针对国际传播领域新现象，整合全球资讯，做一次大幅修订。呈现在读者诸君面前的是本书第三版，重点讨论了国际传播的历史与发展、全球媒介的反向流动、数字时代的媒介与传播等，增加了新的案例来反映国际传播的新兴趋势。深广的视野、严谨的逻辑、丰富的案例，确保了本书的唯一性：只要与国际传播有关，本书都是绕不开的里程碑。...

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山东路附近移动营业厅（山东移动便利店欢迎您）山东路附近移动营业厅（山东移动便利店）位于山东路与建设路交汇处，是一家现代化、宽敞明亮的营业厅。营业厅内设有宽敞的客户服务区、自助服务区、展厅区、VIP贵宾区等多个区域，可为客户提供全方位的移动通信服务。营业厅内配有先进的设备和设施，包括自助服务终端、智能客服机、4G信号增强器、无线充电器等，可为客户提供便捷、高效的服务。营业厅内还设有宽敞的休息区，供客户休息和等候。营业厅内提供多种移动通信产品和服务，包括手机套餐、宽带套餐、手机销售、手机维修、话费充值、积分兑换等。营业厅内还提供各种增值服务，包括手机游戏、手机视频、手机音乐、手机阅读等。营业厅内拥有一支专业、热情、敬业的服务团队，可为客户提供全方位的服务。营业厅内还定期举办各种活动，如手机抽奖活动、手机换新活动、手机维修活动等，为客户提供更多优惠和服务。山东路附近移动营业厅（山东移动便利店）是您身边的移动通信服务专家，欢迎您前来体验我们的优质服务。营业厅地址：山东路与建设路交汇处营业厅电话：0531-88888888营业厅时间：周一至周五：8:30-18:00周六、周日：9:00-17:00...

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r530显卡天梯图r530显卡在天梯图中属于入门级显卡，性能与GTX750Ti相当。它是一款基于GCN架构的显卡，拥有2GB显存，核心频率为1024MHz，显存频率为6000MHz，流处理器数量为384个。虽然r530显卡的性能不高，但它功耗低，发热量小，适合那些对游戏性能要求不高的用户。r530显卡怎么样r530显卡是一款入门级显卡，性能不高，但功耗低，发热量小。它适合那些对游戏性能要求不高的用户。对于那些想玩大型3D游戏的用户来说，r530显卡可能无法满足他们的需求。r530显卡可以玩什么游戏r530显卡可以玩一些对显卡性能要求不高的游戏，比如《英雄联盟》、《反恐精英：全球攻势》、《我的世界》等。对于那些对显卡性能要求较高的游戏，比如《绝地求生》、《Aex英雄》、《赛博朋克2077》等，r530显卡可能无法流畅运行。r530显卡值得买吗r530显卡是一款入门级显卡，性能不高，但功耗低，发热量小。它适合那些对游戏性能要求不高的用户。对于那些想玩大型3D游戏的用户来说，r530显卡可能无法满足他们的需求。如果您对游戏性能有较高的要求，那么不建议您购买r530显卡。...

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图书名称：《B股之致胜宝典》【作者】杨山杉【页数】271【出版社】浦东电子出版社,2001【ISBN号】7-900335-58-7【参考文献】杨山杉.B股之致胜宝典.浦东电子出版社,2001.《B股之致胜宝典》内容提要：本书是作者多年来参与a·股市场笄投资运作的心得。包括第一章：必胜股经；第二章：股入门三十六问；第三章：上市公司资料速查三章内容。...

2023-12-19 致胜宝典 致胜宝典什么意思

图书名称：《宋拓元次山碑》【作者】（唐）颜真卿书；故宫博物院《历代碑帖墨迹选》编辑组编【丛书名】故宫博物院珍藏历代碑帖墨迹选【页数】77【出版社】北京：紫禁城出版社,1998.08【ISBN号】7-80047-268-X【价格】8.50【分类】楷书-碑帖(地点:中国年代:元代)碑帖-楷书(地点:中国年代:元代)【参考文献】（唐）颜真卿书；故宫博物院《历代碑帖墨迹选》编辑组编.宋拓元次山碑.北京：紫禁城出版社,1998.08.《宋拓元次山碑》内容提要：元次山碑，又名容州都督元结碑，全称《唐故容州都督兼御史中丞本管经略使元君表墓碑铭并序》。碑原在河南鲁山县城北青岭元结墓前，现位于鲁山县鲁山一高校园内，外有明代修建之碑亭为其遮挡风雨。系唐代大书法家颜真卿于大历七年（公元772年）63岁时为好友元结亲手撰写并书丹的悼文。全文以寸半见方的楷书写就，字迹浑厚雄健，遒劲秀拔，气势磅礴，充溢着宁折不弯的浩然正气。是颜体的代表作品之一，其拓片曾于1972年赴日本展出。该碑1963年被公布为河南省重点文物保护单位。2006年05月25日，元次山碑作为唐代石刻，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单。颜真卿是我国唐代中期的书法大师。他承袭了东晋王羲之的书法传统，吸收了唐初欧阳询、虞世南、褚遂良、薛稷四大书法家的艺术精华，在楷书和行书上，创造出自己的书法艺术。后人之所以把颜体作为学习的书体，主要是他突破了前人的规范，在笔法、结构、布局、墨法等方面，超尘脱俗，独树一帜，创造出出类拔萃的风格。元结碑的书法特点、字体结构为横细竖粗，多用圆笔，转笔不折而转，字多用弧形，左右的竖画，粗重外弓，向内回抱，上密下粗，蚕头燕尾，独具风格的颜体已经形成。元结碑文是颜书达到炉火纯青地步的作品之一，向来被视为临习颜书之范本。《宋拓元次山碑》内容试读八仙颜鲁公无欢山呼公司米仲诏藏本宋拓颜鲁公元次山碑丞本經中冬序表墓郡史夫上國公颤注胡國元若君真呼年秋害武忠直義山青臣皇家···试读结束···...

2023-11-09 故宫博物院门票预约官网 网上预订 故宫博物院官网

图书名称：《次山集》【作者】（唐）元结撰【丛书名】钦定四库全书.集部【页数】293【出版社】北京：中国书店,2018.08【ISBN号】978-7-5149-2096-3【价格】68.00【分类】中国文学－古典文学－作品综合集－唐代【参考文献】（唐）元结撰.次山集.北京：中国书店,2018.08.图书封面：《次山集》内容提要：《次山集》十二卷，唐元结撰。结事迹具《新唐书》本传。结所著有《元子》十卷，李商隐为作序。《文编》十卷，李纾为作序。又《猗玕子》一卷。并见《唐志》，今皆不传。所传者惟此本，而书名、卷数皆不合。盖后人摭拾散佚而编之，非其旧本。《次山集》内容试读餐次山集養数吉不合盖後人拾散快而编之非其售並見唐志今皆不傳所傳者惟此本而書名作序文编十卷李舒為作序又待研子一秦新唐書本傳結所著有元于十港李商隐為等谨次山集十二巷唐元結撰事蹟具次山集的的别集類一为欽定四庫全書集部二市集教化部校校镜定四庫全書阴時聂國之心文章夏曼自異發排偶摩稱漫郎頭近於古之红然制行高深而深抱子又或稱浪士或稱都史或稱漫史為官或初居商餘山自稱季及逃難待环洞科济行其供篇多关結性不苗俗亦性往跡涉說激觸國之類見於容麻隨筆者此本皆無之則國相乳國無手國無足國恶國忍國無臭國本觀洪導識所記二十國事如方國圆國言提要2四全書市總校官户陸费輝的總祭官且妃的浪陸錫能主源士裁九年二月塔校上联水市产区提要4就定四再全害辭今國家追復統古列祠往帝歲時篇身则必作樂而次山集卷欽定四庫全書功山集古青鸣乎樂歌自大古始百世之模逆無七作古雨羲或鉴橋鸣呼樂养自太古始百世之後遊無伏羲政至于殷室八十代樂歌有其名七其静考之唐元結桃吾人苦兮山幽幽網居歲兮山不幽吾人苦兮水深深網暑散兮水不深耿之勞義以序之锁定四库全網居伏義氏之樂歌也其義盖稱代義能易人限禽宣幾乎司樂君子道和馬爾凡十篇十有九章各引其化金石反正宫羽而或存之循乙乙实实有纯古之聲無雲門咸池韵夏之聲故探其名義以補之誠不足金6···试读结束···...

2023-11-09 epub电子书下载 epub电子书资源网

1.英特尔处理器主要是高端处理器，没有质量问题，价格相对较高，而AMD则便宜得多，性价比高。2.如果银根不紧，最好买英特尔。3.此外，AMD对热量的控制不如英特尔，尤其是在夏天。4.任何产生过多热量的CPU都会导致其性能下降。5.一般来说，同频率的AMD与英特尔相比，游戏性能更好，价格更低，主板也相对便宜。6.如果你有很多钱，可以从英特尔购买。英特尔在办公、设计、图形、多媒体和浮点运算方面实力雄厚。播放视频和音频，英特尔也比AMD更快。...

2023-05-31

1、关山杜若飞千里行军旅？。2、时光飞逝，越过重重障碍，越过千山万水。3.2。国家被山河阻隔，城市里的春草和树木都很深；春天已经到来，人烟稀少的长安城草木茂盛。4.3条。当山花盛开时，她在灌木丛中微笑。5.4条。山河破碎，风在飘，背景在飘，雨在打浮萍。宋文天祥译《渡伶仃洋》：国难当头如大风中的柳絮，自己的人生沉浮如雨中的浮萍，无根，起起伏伏。6.5。从鼓山寺以北到贾亭以西，湖面泉水刚好与堤岸齐平，白云低垂，与湖面相连。7.6。在京口瓜州的水域之间，中山只隔了几座山。...

2023-05-28 飞花令人间 人生的飞花令

1.山亭夏日，夏拼音，第一音，第二音，第四音，第四音。...

2023-05-27

图书名称：《德国面包大全》【作者】（日）若山曜子著；杨彩群译【页数】215【出版社】红星电子音像出版社,2019.07【ISBN号】978-7-83010-215-9【分类】面包－烘焙－德国【参考文献】（日）若山曜子著；杨彩群译.德国面包大全.红星电子音像出版社,2019.07.图书封面：图书目录：《德国面包大全》内容提要：从使用黑麦的传统黑面包，到人尽皆知的扭结面包、史多伦面包，本书共介绍了100余种面包。既解说了德国面包独有的分类方式和制作面包的材料，还介绍了跟面包相关的德国饮食文化和历史背景，一本书就能让您读懂德国面包的过去、现在和未来发展趋势。《德国面包大全》内容试读德国而包大全TheEcycloediaofGermaBread[日]森本智子著王宇佳译沙红置电子音像出版社Itroductio前言很多人都以为德国只有外表黑黑的又酸又硬的面包。这种面包确实占大多数，但德国也有很多其他样式的面包，而且，仔细品尝又酸又硬的德式面包，也会觉得别有一番风味。如果因为先入为主的偏见，就错过接触德国面包的机会，其实是一件挺让人遗憾的事。我就是抱着这种心情写的这本书虽然很多人对德国面包的美味深有体会，甚至还有人特意来德国学习面包知识，但大众对德国面包的认识还是太少了。如何才能填补这一块的空白，是近几年一直困扰我的问题之一。正在这时，出版社找到我，提议让我写一本有关德国面包的书。当时我有种前所未有的兴奋，然而实际创作并没有想象中那样顺利。德国大大小小的面包加起来有两三千种，要从中选出100种，确实让我难以取舍。而且还要将分散的地方特色面包与相关文化整合到一起，实在不是件容易的事。在这个过程中，我甚至对自己的能力产生了怀疑，有那么多了解德国面包的专家，由我来写这本书真的合适吗？现在已出版的德国面包书并不多，且大多是以面包配方为中心。我时常想，如果让我编写一本有关德国面包的书，我一定要介绍德国丰富的面包种类以及其中蕴含的历史、文化。经过写书时的深入调查，我发现了很多原来不知道的东西比如德国人从很久以前就开始吃面包了，面包就是他们生活的一部分为本书选择面包品种时，我主要是依靠个人经验，并参考了一些手头现有的书籍。既想介绍德国人每天都会吃的面包，又想写一些很少见的特殊面包或地方特色面包，所以，光是选品就花费了很多时间。唯一遗憾的是，没能收录到本书中的面包品种还有很多很多制作这些面包时，我得到了很多面包店和面包师的帮助。当时恰逢圣诞节，大家都很忙碌，但还是都按时完成了制作，真是让我感激不尽。在这里，我还要向为我提供面包照片和资料的德国友人以及提供材料和工具的各个企业表示感谢。最后，感谢给我提供出版机会的编辑羽根则子以及拍出这么多漂亮照片的摄影师长濑由香里小姐。希望德国面包深厚的文化能够获得越来越多人的关注，森本智子maaaaakoeaoa2Cotet目录大型面包Brot16白面包WeiBrot49燕麦面包Haferrot18小麦混合面包Veizemichrot50斯佩尔特小麦面包Dikelrot19军用面包Kommirot必斯佩尔特小麦黄米面包Dikel-Hire-Brot名农夫面包Bauerrot54斯佩尔特全麦面包Dikelvollkorrot22乡村面包Ladrot56大麦面包Gerterot24柏林乡村面包BerlierLadrot黑小麦面包Triticalerot25黑森林乡村面包SchwarzwalderLadrot60麦芽面包Malfa(-Kraftma)Brot26全麦面包Vollkorrot61乳清面包Molkeror30柴窑面包Holzoferot62南瓜籽面包Kurikerrot32灰面包Graurot63瓜子面包Soelumerot34德式软面包AugehoeeBauerrot64核桃面包Walurot35德式湿面包GeetzteBrot65亚麻籽面包Leiamerot36德式啤酒面包Bierrot66香料面包Gewirzrot1德式焦面面包Gerterrot(Gertelrot)68土豆面包Kartoffelrot38杂粮面包Mehrkorrot70黑土豆面包KirchergerKartoffelrot39四种谷物面包Vierkorrot71混合麦片面包Malirot40全黑麦面包Rogechrotrot72德式吐司Toatrot41葛拉翰全麦面包Grahamrot74德式酸泡菜面包Sauerkrautrot42德式黑面包Schwarzrot75德式胡萝卜面包Karotterot44莱茵黑面包RheiicheSchwarzrot76德式洋葱面包Zwieelrot45威斯特法伦无糖面包WetfalicherBauertute77十月啤酒节面包Wierea46粗黑麦面包Pumerickel78德式火焰饼Flammkuche4小型面包节庆面包KleigeackFettaggeack84巴伐利亚扭结面包BayericheBrezel114新年扭结面包Neujahrrezel686施瓦本碱水扭结面包Schwaiche(Lauge-Brezel116新年圆环面包Neujahrkraz88迷你碱水面包Laugerotche118新年糕点面包Neujahrgeaick90棒状碱水面包Laugetage120施瓦本早餐包Mitchele91斯佩尔特小麦心形面包Dikellaugeher:I22(罗伊特林根)星状面包(Reutliger)Mutchel96德式羊角碱水面包Laugecroiat124复活节免子面包Oterhae97黑麦餐包Roggerotche125古巴伐利亚复活节面包AltayericheOterrot98凯撒面包Kaieremmel126复活节王冠面包Oterkra:1O0双圆小餐包Doelemmel128万灵节梯子面包Himmelleiter101椭圆切割餐包Schrie129基督降临节果干面包Fruchterot102万灵餐包Seele130洋梨干面包Birerot104瑞士餐包Bǘrl132圣·尼古拉斯节人偶面包WeckmaIO5斯佩尔特小麦餐包Dikelwecke135圣诞面包JulchlageIO6芬尼餐包Pfeigmuckerl136史多伦面包Stolle107椒盐长条餐包Salztage139榛子史多伦面包Nutolle1O8各种杂粮小餐包DivereBrotchel40杏仁史多伦面包MadeltolleI4I奇亚籽史多伦面包Mohtolle146冬至太阳面包Soelaufoge5糕点面包FeieBackware152酵母辫子面包Hefezof166柏林炸面包BerlierPfakuche154黄油辫子面包Buer:od168嘉年华夹心炸面包Fachigkrafe155葡萄干辫子面包Roiezof169柏林扭结面包BerlierBreel156奇亚籽辫子面包Mohzof172土豆炸面包Erdafelkrafe157小提琴面包Gg173油炸面包圈Augez0gee158花式糕点面包、酵母糕点面包I74葡萄干螺旋面包RoiecheckeFormgeaick.HefeteiggeackI75苹果黄油蛋糕Afelutterlechkuche160德式肉桂卷FrazrotcheI76蜜蜂之吻蛋糕Bieetich162绳结面包Kote178西梅酥粒蛋糕Zwetchgekuche163葡萄干绳结面包Roiekote179酸樱桃酥粒蛋糕Streuelkuche164布丁扭结面包Pluderrezell65果酱夹心面包Buchtel···试读结束···...

2023-05-20

图书名称：《数据驱动的科学和工程机器学习、动力系统与控制详解》【作者】（美）史蒂文·L.布伦顿（STEVENL.BRUNTON），（美）J.内森·库茨（J.NATHANKUTZ）著；王占山，施展，刘莺莺译【丛书名】国外工业控制与智能制造丛书【页数】400【出版社】北京：机械工业出版社,2021.08【ISBN号】978-7-111-68861-7【价格】149.00【分类】数据处理-研究【参考文献】（美）史蒂文·L.布伦顿（STEVENL.BRUNTON），（美）J.内森·库茨（J.NATHANKUTZ）著；王占山，施展，刘莺莺译.数据驱动的科学和工程机器学习、动力系统与控制详解.北京：机械工业出版社,2021.08.图书封面：图书目录：《数据驱动的科学和工程机器学习、动力系统与控制详解》内容提要：高斯奖获得者、美国三院院士StaleyOher教授等多位专家推荐，介绍机器学习和数据挖掘在理工科的应用……《数据驱动的科学和工程机器学习、动力系统与控制详解》内容试读第一部分「降维和变换第1章奇异值分解奇异值分解(SVD)是计算时代最为重要的矩阵分解方式之一，它为本书中几乎所有的数据方法奠定了基础。SVD提供了一种数值稳定的矩阵分解结果，可用于多种应用目的并保证矩阵分解的存在性。我们将用SVD来获得矩阵的低秩近似，并对非方阵求取伪逆来找到方程组Ax=的解。SVD的另一个重要用途是作为主成分分析(PCA)的底层算法，可将高维数据分解为最具统计意义的描述因子，即降维，用少数变量就能够反映原来众多变量的主要信息。SVD/PCA已广泛应用于理科和工科领域解决各种问题。在某种意义上，SVD拓展了快速傅里叶变换(FFT)的概念，FFT将是下一章的话题。许多工程教材会先介绍FFT,因为它是许多经典解析结果和数值结果的基础。然而，FFT是在理想设置情况下工作的，而SVD是一种更为通用的数据驱动技术。因为本书关注的是数据，所以我们从SVD开始，SVD可被认为是针对特定数据而提供的定制的基，而FFT提供的则是通用的基。在许多领域，复杂系统生成的大量数据是以大型矩阵形式排列的，或更通常的是以数组形式排列的。例如，可以将来自实验或仿真的一系列时间序列数据排列成一个矩阵，矩阵中的每一列包含所有给定时间上的测量值。如果在每一时刻上的数据是多维的，就像在三维空间中对天气进行高分辨率仿真一样，可以将这些数据重塑或扁平化为高维列向量，从而形成一个大型矩阵的多个列。类似地，可以将灰度图像中的像素值存储在矩阵中，也可以将这些图像重塑成一个矩阵中大的列向量来表示影像的画面。值得注意的是，这些系统生成的数据通常是低秩的，这意味着存在一些主导模式可用于解释高维数据。SVD是一种从数据中提取这些模式的数值鲁棒和有效的方法。1.1概述在这里，我们将介绍SVD,并通过一些启发示例来展示如何使用SVD,以此建立对SVD的直观认识。SVD为本书中介绍的许多其他技术提供基础，包括第5章中的分类方法、第7章中的动态模态分解(DMD)和第11章中的本征正交分解(POD)。下面几节将讨论详细的数学性质。3高维是在处理复杂系统中的数据时经常遇到的挑战。这些系统可能涉及大型测量数据集，包括音频、图像或视频数据。数据也可以从物理系统生成，例如来自大脑的神经记录、2第一部分降雏和变换来自仿真或实验的流体速度测量值等。在许多自然发生的系统中，可以观察到数据表现出主导模式，其特征可以由低维吸引子或流形来刻画252,25。例如，图像中包含有大量的测量值（像素），它们是高维向量空间的元素。大多数图像是高可压缩的，这意味着相关信息可以在低维的子空间中表示。本书将对图像的可压缩性进行深入讨论。复杂的流体系统，如地球的大气层或车辆后方的湍流尾流，也提供了高维状态空间下存在低维结构的例子。尽管高保真流体的仿真通常需要至少数百万或数十亿个自由度，但在流体中往往存在主导的相干结构，如车辆后方周期性的旋涡脱落或天气中的飓风。SVD提供了一种系统的方法，可以根据主导模式确定高维数据的低维近似值。这种技术是数据驱动的，因为模式完全是从数据中发现的，无须添加任何专家知识或直觉。SVD在数值上是稳定的，并根据由数据内主要相关性定义的新坐标系提供数据的层次表示。此外，与特征分解不同，SVD可以保证对于任何矩阵都是存在的。除了降低高维数据的维数外，SVD还有许多强大的应用。它可用于计算非方阵的伪逆为欠定或超定矩阵方程组Ax=提供解，还可以用于数据集去噪。SVD对于刻画向量空间之间的线性映射的输入和输出几何关系同样重要。这些应用都将在本章中进行探讨，从而为矩阵和高维数据提供一个直观的认识。SVD的定义通常，我们感兴趣于分析大型数据集X∈Cxm:XX2(1.1)列x∈C”可能是来自仿真或实验的测量值。例如，这些列可以表示已经被重塑为具有与图像中的像素一样多的元素的列向量的图像。列向量还可以表示随时间变化的物理系统的状态，例如一组离散点处的流体速度、一组神经测量值或是具有一平方千米分辨率的天气模拟状态。索引k是一个标签，表示第k个不同组的测量。对于本书中的许多例子，X由时间序列4☐数据组成，并且x,=x(k△)。通常，状态维度非常大，可达到数百万或数十亿个自由度的数量级。列通常被称作快照，m表示X中的快照数量。对于许多系统”gtm,结果可表示为一个高瘦的矩阵，相反，当《m时，则是一个矮胖的矩阵。对于每一个复值矩阵X∈Cm,SVD存在唯一矩阵分解：X=UΣV*(1.2)其中，U∈Cmx"和V∈Cmxm是带有标准正交列的酉矩阵9，∑∈Cxm是一个对角元素为非负实数、非对角元素都为零矩阵。这里*表示的是复共轭转置。我们将在本章中发现，U和V是酉的这个条件被广泛地使用。当≥m时，矩阵∑在对角线上最多有m个非零元素，并可以被写成∑因此，0曰如果UU*=U*U=I,则称方阵U是酉的。对于实值矩阵来说，这与常规转置X*=X相同。第1章奇异值分解3可以使用经济SVD来精确表示X:X=UEV*=02v(1.3)满秩SVD和经济SVD如图1.1所示。心-的列张成的向量空间与心张成的向量空间是正交互补的。U的列被称为X的左奇异向量，V的列被称为X的右奇异向量。2∈Cmxm的对角线元素被称为奇异值，它们是由大到小排序的。X的秩等于非零奇异值的个数。满秩SVDV0U经济SVD图1.1满秩SVD和经济SVD中的矩阵示意图SVD的计算SVD是计算科学和工程学的基石，并且SVD的数值实现既重要又具有数学启发性。也就是说，大多数标准数值实现都是成熟的，并且在许多现代计算机语言中存在一个简单的接口，允许我们抽取出SVD计算背后的细节。在大多数情况下，我们只是将SVD作为大型计算工作的一部分，并理所当然地认为存在这种有效且稳定的数值算法。在接下来的章节中，我们将演示如何借助各种计算语言来使用SVD,还将讨论最常见的计算策略和局限性。关于SVD的计算有许多重要的结果212.106,21,22,23。在文献[214]中可以找到有关计算问题的更详尽的讨论。随机数值算法越来越多地用来计算超大矩阵的SVD,这将在1.8节讨论在Matla中，SVD的计算很简单：gtgtXrad(5,3)Createa5x3radomdatamatrixgtgt[U,S,V]vd(x)iigularValueDecomoitio5对于非方阵X,经济SVD效率更高：gtgt[Uhat,Shat,V]vd(X,'eco')$ecoomyizedSVD在Pytho中：第一部分降雏和变换gtgtimortumyagtgtX.radom.rad(5,3)createradomdatamatrixgtgtU,S,V.lialg.vd(X,full_matrice=True)$fullSVDgtgtUhat,Shat,Vhat.lialg.vd(X,fullmatrice=Fale)号ecoomySVD在R中：Xlt-relicate(3,rorm(5))gtlt-vd(X)gtUlt-8$ult-diag(d)Vlt-SV在Mathematica中：I:X=RadomReal[(0,1),{5,3)]I:[U,S,V=igularValueDecomoitio[X]SVD也可以在其他语言中使用，比如Fortra和C++。事实上，大多数SVD的实现6都是基于Fortra中的LAPACK(线性代数工具包)H)。SVD操作在LAPACK中被指定为DGESVD,它被封装在C++库Armadillo和Eige中。历史回顾SVD有着悠久而丰富的历史，从早期建立基础理论的工作发展到现代的关于计算稳定性和效率的工作。Stewart5oa对SVD发展进行了很好的历史回顾，提供了相关背景和许多重要的细节。这篇文章主要介绍了Beltrami和Jorda(1873)、Sylveter(1889)、入Schmidt(1907)和Wyl(1912)的早期理论工作。该文章还讨论了更为近期的工作，包括Golu及其合作者的开创性计算工作22,21。此外，现代著作中也有许多关于SVD的优秀章节524,17,316本书用途和读者要求SVD是降维中许多相关技术的基础。这些方法包括统计学中的主成分分析(PCA)48,6,2列Karhue-Loeve变换(KLT)2o.34o、气候中的经验正交函数(EOF)B4、流体力学中的本征正交分解(POD)25)、典型相关分析(CCA)3。尽管这些方法是在不同领域独立建立起来的，但其中有许多方法只是在如何进行数据收集和预处理等方面有所不同。Gerrad在文献[204]中对SVD、KLT和PCA之间的关系进行了很好的讨论。SVD还广泛应用于系统辨识和控制理论中获得降阶模型，以此实现如下意义上的平衡：根据测量获得的状态观测能力和执行作用获得的状态控制能力实现状态的分层有序3对于这一章，我们假设读者熟悉线性代数，并有一定的计算和数值方面的相关经验。作为回顾，有许多关于数值线性代数的优秀书籍，那里有关于SVD的讨论524.7,3111.2矩阵近似SVD最有用的定义特性可能是它为矩阵X提供了一个最优的低秩近似。事实上，SVD提供了一个分层的低秩近似，因为保留最前面的？个奇异值和向量，并丢弃其余的项，就可以获得秩为r的矩阵近似。第1章奇异值分解5Schmidt(Gram-Schmidt正交化方法提出者之一)将SVD推广到函数空间，并建立了一个近似定理，将截断SVD作为基础矩阵X的最优低秩近似7o。Schmidt的近似定理被Eckart和Youg重新发现o,有时也被称为Eckart-Youg定理。定理1(Eckart--Youg!7o)最小二乘意义下X的最优秩r近似，由秩rSVD截断文给出：argmiX-XIF=UZV*(1.4)7☐文，.t.rak(X)=r其中，0和V分别表示U和V中前”个先导列，2包含∑中的先导r×r维子块。e表示Froeiu范数。在这里，我们建立了一种表示形式，即截断SVD基（以及得到的近似矩阵文）用文=心V*来表示。由于∑是对角矩阵，秩rSVD近似则是由r个不同的秩1矩阵的和给出：文=∑0u以=o1u山1v+2u2吃+…+r山(1.5)k=1这就是所谓的并向量求和。对于给定的秩r,在，意义下，对于X没有比截断SVD近似文更好的近似。因此，高维数据可由矩阵0和立的列给出的几个主导模式很好地描述。这是SVD的一个重要特性，我们将多次讨论它。有很多包含高维测量值的数据集示例，由此产生一个大的数据矩阵X。然而，在数据中往往存在主导的低维模式，截断SVD的基提供了从高维测量空间到低维模式空间的坐标变换。这样做的好处是减少了大型数据集的规模和维数，为可视化和分析提供了一个易于处理的基。本书考虑的许多系统是动态的（见第7章)，SVD的基提供了用于刻画可观测吸引子的层次模式，在此基础上可以投影一个低维动态系统来获得简化的降阶模型（见第12章）。截断截断SVD如图1.2所示，其中立、立和7表示截断的矩阵。如果X不是满秩的，那么中的一些奇异值可能是零，截断SVD可能仍然是精确的。但是，对于截断值”小于非零奇异值的数目（即X的秩），截断SVD只能如下近似X:X≈02V(1.6)截断秩r有许多选择，将在17节中讨论。如果我们选择截断值来保持所有非零的奇异值，那么X≈立V*就是精确的。示例：图像压缩我们用一个简单的示例来说明矩阵近似的思想：图像压缩。贯穿全书的一个主题是大数据集通常包含易于用低秩表示的基础模式。自然图像提供了一个简单又直观的例子，其具有内在可压缩性。一幅灰度图像可以被认为是一个实值矩阵X∈Rxm,其中和m分别表示垂直和水平方向上的像素个数©。取决于表示（像素空间、傅里叶频域、SVD变换坐标）的基，图像可能有非常紧凑的近似。8日尽管将图像大小指定为垂直的而不是水平的情况并不少见（即X”∈R"),但我们坚持用水平表示替代垂直表示，这是为了与常用矩阵表示法保持一致。6第一部分降维和变换满秩SVD7*XU0截断SVD0图1.2截断SVD示意图。下标“rem”表示立、立和V在截断后的剩余项考虑图1.3中雪狗Mordecai的图像，这幅图像有2000×1500像素。可以对该图像进行SVD,绘制对角线奇异值，如图1.4所示。图1.3给出了在不同截断值r下得到的近似矩阵X。当”=100时，重构图像非常精确，奇异值几乎占图像方差的80%。SVD截断导致对原始图像的压缩，因为只有U和V的前100列以及∑的前100个对角元素被存储在心、立和立中。原始图像r=5,保留0.57%r=20,保留2.33%r=100,保留11.67%图l.3SVD在不同的秩r截断后得到的雪狗Mordecail的图像压缩情况（原始图像分辨率为2000×1500)···试读结束···...

2023-05-15 王占山诗词集 盂县王占山