《筛法理论》谢秋彬作|(epub+azw3+mobi+pdf)电子书下载

图书名称：《筛法理论》

【作　者】谢秋彬作

【页 数】 230

【出版社】 北京：中国财富出版社 , 2023.03

【ISBN号】978-7-5047-7831-4

【价 格】88.00

【分 类】筛法

【参考文献】 谢秋彬作. 筛法理论. 北京：中国财富出版社, 2023.03.

图书封面：

图书目录：

《筛法理论》内容提要：

本书将筛法定义在初等数论的范畴，对Eratosthenes筛法（埃拉托斯特尼筛法，简称“埃氏筛法”）做了进一步的完善，建立了多重多元筛法理论，使得筛法形成了一个完整的、系统的数论分析体系，成为数论分析的强有力的工具。尤其是在讨论素数在各种整数序列中的分布问题时，筛法起到了“非他莫属”的作用。本书运用筛法理论解决了诸如孪生素数问题、Goldbach（哥德巴赫）问题和x2+b的素数分布、Mersenne（梅森）素数及Fermat（费玛）素数的存在性等有关在整数序列中的素数分布问题。

《筛法理论》内容试读

第一章筛法的基本思想

筛法理论的最初作用是求素数的个数。已知小于z的素数，求z至(z+1)2之间的所有素数。即让z表示一个大于等于2的整数，对区间1，=[z,(z+1)2]中的所有整数依次筛去2,3,5,7，…等小于z的所有素数的倍数，则在L,中所剩的整数均为素数。这就是Eratosthenes筛法，也被称为逐步淘汰法则。后来产生了Selberg(塞尔伯格)筛法、大筛法、组合筛法、加权筛法等，但它们的基本思想仍然是基于逐步淘汰原理。我们把Eratosthenes筛法归纳为一重一元筛法。

筛法在数论中的应用非常广泛，尤其在研究素数分布的存在性问题时，其是一种非常好的方法。关于筛法理论的发展和作用，H.Halberstam和

H.-E.Richert在Sieve Methods一书中做了较全面的介绍，在此不赘述。

§1.1筛法的基本要素

定义：由一个或多个筛分集合B，同时对一个或多个整数序列进行筛分，

求出每个整数序列所剩元素个数的计算工具称为筛法。

根据定义，我们可将筛法分为：一重一元筛法、一重二元筛法及一重元筛法；二重一元筛法、二重二元筛法和二重元筛法；等等。以上统称为k重n元筛法或多重多元筛法。

一重一元筛法的基本思想是给定一个整数序列A，一个素数集合即一个

筛分集合B和一个整数z≥2，从整数序列A中筛去小于z且被素数集合B

中的素数整除的元素，求出整数序列A中所剩元素的个数。实际上这就是

Eratosthenes筛法，它主要用于编制素数表，即已知小于z的所有素数，寻求位

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筛法理论

于区间[z,(z+1)2]中的所有素数。设P(z)=几P,我们可以将上述筛法过

D<2

程用数学公式表达为：

S(A:B,z)=Σ1

E

(a,P(z）)=1

这就是我们所说的筛函数。在此我们已经提到三个基本要素即整数序列、筛分集合和筛分函数。

§1.2整数序列A

定义：由一个一元次整系数不可约多项式（代数式）产生的整数序列称为n元整数序列，用A表示。

月=a1,a2,a3,…

我们这里讨论的整数序列A必须具有如下性质：

(1)有限性。整数序列是由有限个元素组成的。

(2)均匀性。均匀性是指这个整数序列被任何一个素数整除后的元素分布的均匀性，即设这个整数序列的元素个数为x,被素数P:整除后的元素个

数g()一定是：[]≤g()≤[」+1。这里[引表示取普的整数部分。

(3)规律性。整数序列中元素分布是有特定规律的。

(4)有序性。即元素分布按照一定的规律有序出现在整数序列中。在这些性质中，一般除均匀性需要证明外，其他性质均可通过观察解决。

§1.2.1可筛整数序列

定义：具有上述性质的整数序列称为可筛整数序列。

例如：设R,为小于等于z的所有自然数集合，则这个整数序列具有上述

四个性质。于是有以下定理：

定理1.1：一个自然数列是可筛整数序列。

1,3,5,7,·,2n+1当然也是具有上述四个性质的整数序列。

定理1.2：一个自然数序列，减去被素数P1整除的元素，减去被素数P2

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第一章筛法的基本思想

整除的元素，…即分别减去被有限个素数整除的全部元素后，所剩元素组成的整数序列仍然具有上述四个性质。

证明：设自然数序列为R,其中被P1整除的全部元素[]个，然后

[月个元素逐个除以，后即为-个自然数序列尼，()，含有[]个被：

整除的元素。自然数序列R,减去被P1整除的全部元素后，所剩元素个数为

:-月个，被素数：整除的元素个数为[引-[】=个，即所

剩整数序列仍然具有均匀性。

同理，被减去的被P2整除的元素加上被p1P2整除的元素并逐个除以P2

后，也组成一个自然数序列R,(P2)。

R(P1)和R(P2)两个自然数序列中被P3整除的个数为：

[小+

从上式减去R(P2)中元素被P3整除的个数，即：

[+】-[pal

而[-(a]+[a」-n)=[(e-」-[+[a),

由此可知，所剩整数序列仍然具有均匀性。

通过观察，该自然数序列的有限性、有序性和规律性则是很显然的。定理证毕。

定理1.3：整数序列pn+b[n≤z,(p,b)=1]具有上述四个性质。证明：这个整数序列的有限性、有序性和规律性是显而易见的，现在我们只需要证明其素数分布的均匀性。设mp:=p:+b是整数序列中的一个元素，由于

p(n+P:）+b=P:(p+m）p(ni+pil)+b pi(m +pl)

即在整数序列pn+b中，被素数p:整除的元素个数为：

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筛法理论

说明整数序列pn+b具有均匀性。定理证毕。

定理1.4：给定一个具有上述四个性质的整数序列，其元素按照从小到大的顺序排列，元素个数≤z。如果被p:整除的最小元素排列在第n:位，n≤

P,则被p:整除的元素个数g(z)为：

g(z）=

Pi

证明：由于这个整数序列是均匀的，因此被P:整除的元素个数g(z)为：

[≤g≤[」+1

由于被p:整除的最小元素排列在第：位，而后均匀地每隔P:个元素出现

一个被P:整除的元素，即整数序列中被P:整除的元素个数为：

定理证毕。

定理1.5：一个整数序列具有均匀性的充分必要条件：对于每一个P:，

都具有8()=[+吗的性质。

证明：根据定理1.3，我们实际上只要证明其充分性即可。假设这个整数

序列都具有)=[四]的性质，则[月≤e）=[+]≤[+1,即[]≤(a)≤[+1

定理证毕。

例如：给定一个整数序列7n+2,设n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,…,26,则7n+2=9,16,23,30,37,44,51,58,65,…,184。

被3整除的元素个数为[26+9]=9被1山整除的元素个数为[26+出一]=2

被23整除的元素个数为26+-]=2

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筛法理论

原整数序列具有元素分布的均匀性。由于筛去的整数序列{A:(P:m±2)2+1}也是可筛整数序列，其元素分布也具有均匀性，故所剩整数序列的元素仍然是均匀分布的，仍然是可筛整数序列。

定理证毕。

定理1.9：设a为一个整数常数。一个不可约多项式f(x)构成的整数序列是可筛整数序列，筛去f(p:)+a后，所剩整数序列仍然是可筛整数序列。证明：实际上这是定理1.8的一个推论。如果f(x)是可筛的，f(p:)+a也是可筛的，故所剩整数序列仍然是可筛的。

大多数时候，我们遇到的是由多个整数序列并列构成的筛法。这时，要分别对每个整数序列进行分析讨论，通过合理叠加达到目的。因此，筛法最根本的问题是根据命题的实际，合理设置整数序列。

§1.2.2几类可筛整数序列

(1)自然数列：{n}。

(2)算术级数：{n+b}。

(3)一元二次多项式产生的整数序列：{an2+bn+c}。

(4)不可约多项式产生的整数序列。

(5)指数式产生的整数序列：{a}。

§1.3筛分集合B

定义：一个整数集合或其中的若干类集合组成的元素集合对一个整数序

列能有效实施筛选分类的集合称为筛分集合，用B表示。例如：全体素数、

4m+1型素数、元素的节等。

§1.3.1筛分集合的性质

筛分集合B一般具有如下性质：

(1)无重复性。在筛分集合B中不能有重复元素出现。

(2)有序性。在筛分集合B中，元素是按照从小到大的顺序排列的。

(3)可跳跃性。在素数筛分集合B中，不一定是≤z的全部素数集合都

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···试读结束···